¿De inducción para un functor álgebra implica es inicial?

Question

Por "inducción" me refiero a "no adecuada subalgebras". Mi pensamiento va como esto:

1. Para los números naturales, la recursividad y la inducción son, en cierto sentido, la misma cosa. En particular, dada una definición recursiva de $f$ le demostraría su totalidad aproximadamente diciendo: "si yo puedo definir $f$$1\dots n$, entonces podemos definir en $n+1$", es decir, por inducción.
2. El buen categórica noción de recursividad es la inicial de álgebras – en particular, para $F(X) = 1\sqcup X$ inicial álgebra es un número natural objeto, la propiedad de ser la inicial, es precisamente lo que usted necesita para definir las funciones de la recursividad.
3. Una primera álgebra automáticamente tiene una noción de la inducción: inicial objetos no tienen adecuada subobjetos, así que si tienes algunos subobjeto que es cerrado bajo las operaciones de álgebra, esto significa precisamente que la inclusión es un álgebra de homomorphism, y por lo tanto un isomorfismo.
4. Realmente me gustaría ir a otro lado, pero en general la implicación "$I$ inicial $\implies$ cada mono en $I$ es una iso" no se puede revertir (su doble tiene un contraejemplo en $\mathbf{Set}$, en el que cada epi de $0$ es una iso pero $0$ es no terminal).

Hay circunstancias donde un álgebra de no tener la adecuada subalgebra significa que es inicial?

Answer 1

En general, es posible que un objeto tenga cada mono en una iso, pero no ser inicial, débilmente inicial, o cuasi-inicial. La condición previa es demasiado fácilmente satisfecho simplemente por no contar con muchas morfismos en un objeto dado, así que para darle algo de tracción, voy a tener una existencia-de-morfismos condición.

Teorema: En una categoría con sintonizadores, si $I$ es un objeto de tal manera que cualquier mono $A \rightarrowtail I$ es un iso, a continuación, $I$ es cuasi-inicial.

Prueba: Supongamos $f, g : I \rightrightarrows X$, y tome $A \xrightarrow{e} I$ el gol del empate de $f$$g$. Un ecualizador es un (regular) el mono, así que por hipótesis en $I$ es un iso, pero si el ecualizador de dos morfismos es un iso, entonces son iguales. Por lo $f = g$, por lo que hay en la mayoría de uno de morfismos de $I$ a cualquier otro objeto.

En el caso particular de las categorías de functor álgebras y homomorphisms, el olvidadizo functor subyacentes a la categoría crea límites, por lo que en particular es suficiente para que el subyacente categoría sintonizadores (gracias Zhen Lin por recordarme de esto).

Todavía no he venido para arriba con cualquier palabra interesante en cuando hay al menos uno de morfismos, por lo que el $I$ realmente es inicial en lugar de cuasi -.

Answer 2

Después de no recibir respuestas aquí, he vuelto a publicar esta pregunta en MathOverflow, y recibió una respuesta de Todd Trimble.

http://mathoverflow.net/questions/127540/does-induction-for-a-functor-algebra-imply-it-is-initial