¿Hay contradicciones en matemáticas?

Question

Alguien me dijo que las matemáticas tienen muchas contradicciones.

Dijo que muchas cosas no están bien definidas.

Me dijo dos cosas que no sé.

• $1+2+3+4+...=-1/12$
• ¿Qué es el infinito $\infty$?

Dado que no soy especialista en matemáticas y sé poco. ¿Cómo puedo refutar las dos afirmaciones anteriores?

¿Cómo puedo convencerlo?

Answer 1

Alguien me dijo que la matemática tiene un montón de contradicciones.

Corregir las matemáticas no, como ya sabemos. Sin embargo, los matemáticos se diviertan con poco "pruebas", cuya conclusión es absurda. El juego es identificar el error. Es importante porque las "pruebas" por lo general se basan en los errores que la gente suele hacer por accidente. Encontrar el error de ayuda a los matemáticos evitar cometer el mismo error que ellos mismos.

Probablemente el más simple de estos juegos es una "prueba" de que $1 = 0$:

Deje que $x = 1$ y $y = 0$. Entonces $x \cdot y = y \cdot$ y. Dividir ambos lados por $y$, $x = y$.

El error de curso es que usted no puede dividir ambos lados por cero y mantener una igualdad. La lección es no dividir por algo que es, o podría ser de $0$. En una más compleja, la prueba puede llevar algo de trabajo para demostrar que la cosa que se desea, se puede dividir en realidad nunca es $0$, o si podría ser de $0$ a considerar el caso en el que es separado de el caso de que no lo es.

A veces, este juego se vuelve más grave. Hubo una cosa que se llama ahora "ingenua teoría de conjuntos" que, básicamente, dijo, "cualquier colección de conjuntos que se pueden describir, es un conjunto". Esto nos permite considerar tales cosas como "el conjunto de todos los conjuntos", y "el conjunto de todos los conjuntos que son elementos de sí mismos". Por supuesto, "el conjunto de todos los conjuntos" es un elemento de sí mismo. El conjunto vacío no es un elemento de la misma (no es un elemento del conjunto vacío, que es lo vacía que significa). Así que, ¿qué pasa si yo defino S a ser "el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos".

Oh queridos. Ahora tenemos una contradicción. Es S un elemento de S o no? Si es así, entonces debe satisfacer la definición. Pero de acuerdo a la definición de cualquier cosa en S no es un elemento de sí mismo. Y el "sí mismo", es S. es decir, si es un elemento, a continuación, no lo es. Y si no es un elemento de S, entonces por la definición de que es un elemento de sí mismo. Así que si no es un elemento, entonces es.

Lo que este le dijo a los matemáticos es que lo que ahora se llama "ingenua teoría de conjuntos", la definición de cualquier cosa que le guste, no es lo suficientemente bueno. Esta es la llamada Paradoja de Russell, porque Bertrand Russell publicó primero. Ernst Zermelo previamente había descubierto, pero no publicado. Tanto Russell y Zermelo conjunto acerca de la construcción de sistemas:

• permiten todo lo que los matemáticos necesarios para hacer con los juegos (en realidad Russell trabajó en "tipo de teoría" en lugar de "teoría de conjuntos", pero no creo que la diferencia que importa a esta explicación).
• impidió la paradoja de que ocurren por la limitación de como le permiten definir conjuntos.

Usted podría argumentar razonablemente que previo a esta actividad, las matemáticas hizo contener contradicciones. Afortunadamente, no en una forma que importaba, ya que como sucedió, no había realmente importantes resultados que no podía ser llevado en la más segura de las fundaciones. Pero por esta y otras razones no podemos decir con certeza que no hay contradicciones, sólo que no hay ninguno conocemos y no tratados.

Esto puede sonar como una terrible crisis en las matemáticas, la búsqueda de "matemáticas" para ser contradictorios. En cierto sentido, fue una crisis, en la que se requiere una gran cantidad de re-verificación de algunos de los supuestos básicos y las intuiciones de la gente que había. No era un desastre, desde la teoría de conjuntos como tal ha existido por menos de 50 años en el tiempo, y todo la paradoja dijo fue que la teoría de conjuntos no estaba del todo bien y las mejoras necesarias. La mayoría de todas las matemáticas se haya hecho, en el momento en que había sido sin apelar a esta errónea teoría de conjuntos.

Usted puede pensar en esto como un largo y sorprendente "la prueba por contradicción". Una prueba por contradicción dice:

• supongamos que X es verdadera
• deducir una contradicción
• a la conclusión de que X no es cierto

Conjunto de teóricos tenido:

• construye una teoría de conjuntos
• deducir una contradicción
• la conclusión de que esta teoría de conjuntos no era bueno

Así que las matemáticas no "se trata de" una gran cantidad de contradicciones en el sentido de que una gran cantidad de pruebas que ver finalizará con uno. No acaba de decir que "contiene": -)

Él dijo que un montón de cosas que no están bien definidos.

Esto es discutible en un tramo. En matemáticas, prácticamente todo está definido, pero una pregunta interesante es lo que se define en términos de. Fundamentos de las matemáticas es un tema muy amplio dentro de las matemáticas.

1+2+3+4+...=-1/12

No es cierto, pero se puede hacer es mirar verdadero en una variedad de maneras. Esta es una de esas diversiones que he mencionado anteriormente.

Dado un divergentes de la serie, puede realizar algunas incorrecta, pero plausible, buscando las manipulaciones que el resultado aparece a tener, total usted por favor. AFAIK el original de la razón histórica para la elección de -1/12 , en particular, es que 1+2+3+4+... es la divergencia de la serie de Dirichlet para -1y -1/12 es la de Riemann zeta función de -1. Ahora, cuando el Dirichlet de la serie converge para un valor determinado, es igual a la función zeta. De hecho, los zeta de la función puede ser definida como la "continuación analítica" de los convergentes de Dirichlet de la serie. Eso significa que es la única función que es igual a la convergentes de Dirichlet de la serie y también tiene otra característica especial llamada "holomorphism".

Pero el de la serie de Dirichlet para -1 no convergen, como he dicho, para empezar es divergente. Por lo -1/12 es el valor de una importante e interesante función que coincide con algunos de Dirichlet de la serie, pero no en este, que no tiene ningún valor. Así se le puede llamar "el valor de Dirichlet de la serie", pero realmente no es así. No hay ninguna contradicción.

¿qué es el infinito ∞?

Puesto que usted no está matemáticamente entrenados, no puede saber lo infinito "es" matemáticamente. Aparte del hecho de que el concepto de "infinito" es algo misterioso en inglés, su amigo le ha pedido a usted una pregunta injusta de matemática general conocimiento. Él bien podría haber preguntado qué la Riemann zeta función, o la definición de un espacio métrico, y si nunca has estudiado esas cosas, entonces usted simplemente no lo sé.

En matemáticas se tratan con el concepto de infinito mediante la definición de reglas muy estrictas sobre cómo manejar, y luego la siguiente. En diferentes contextos matemáticos definirá el "infinito" de forma diferente. Así que usted debe pensar ∞ como de ser sólo un símbolo que se utiliza para significar alguna cosa específica que se define en algún otro lugar (espero que la persona que lo utiliza puede decir dónde). Esto no significa necesariamente la misma cosa, cada vez que se utiliza en diferentes lugares.

De vuelta en el tema, "fundamentos de matemáticas", hay un montón de trabajo interesante en el modo de considerar el infinito de los números naturales 0, 1, 2, 3, ... Además, hay un trabajo interesante sobre si los matemáticos "debería" estar considerando el infinito como una cantidad en absoluto. Ya que los fundamentos de este trabajo, en principio, puede afectar a todos los de las matemáticas, en la práctica, la mayoría de las áreas de matemáticas pueda escoger la versión de "infinity" que necesitan (si alguna) y se pega con él.

Cómo refutar los dos anteriores?

No puedo pensar en varias posibilidades:

• tu amigo tiene preguntas sinceras sobre el fundamento de las matemáticas. Esto está muy bien, pero, como un no-matemáticas-especialista, no se va a lidiar con sus preocupaciones. Le consulte a un matemático que le hará ser más claro exactamente lo que sus preocupaciones son: ¿qué se siente no está bien definido? Cómo ha derivado de sus contradicciones?

• su amigo ha encontrado algo que no se entiende completamente, y la conclusión de que es mal definidos y contradictorias. Esa es una respuesta natural, pero en el caso de las matemáticas hay un antídoto, que es pedir a las preguntas sinceras sobre los fundamentos de las matemáticas. Ver arriba.

• tu amigo está jugando con usted. Ya que él se ha ofrecido ninguna prueba de lo que dice, no hay necesidad de encontrar un error en particular. Es como si él dijo, "en inglés contiene un montón de contradicciones. Por ejemplo, la palabra 'rojo' significa 'naranja'". Bueno en primer lugar, no, no no, eso significa algo diferente, usted puede simplemente ignorar a él (y a la suma de 1+2+3+4+... no es -1/12, que la serie no tiene una suma). Pero, en segundo lugar, ACEPTAR, en ciertos contextos, en realidad esto no significa que, por muy interesante razones históricas. De hecho la palabra "naranja" entró en el idioma inglés de largo después de ciertos naranja cosas que ya había sido llamado "rojo", tales como las pelirrojas, milanos reales, y robins' rojo pechos. Pero esto no es una contradicción (y en el contexto de Dirichlet de la serie y la de Riemann zeta función, -1/12 se encuentra en un extraño sentido de lo que la suma de 1+2+3+4+... "sería si es convergente").

Answer 2

No hay contradicciones conocidas en matemáticas. Eso no significa que no las haya, simplemente dice que no hemos encontrado ninguna. Teniendo en cuenta el hecho de que miles de matemáticos están creando nuevas matemáticas a diario, y que nunca ninguno encontró ninguna contradicción es una evidencia circunstancial abrumadora de que no hay contradicciones. Sin embargo, es imposible probar matemáticamente que una contradicción no existe. Existe un teorema importante debido a Gödel que prueba que si las matemáticas no tienen contradicciones, entonces es imposible probarlo.

Esa es simplemente la situación. La mayoría de los matemáticos no pensarán en esto dos veces, ya que la evidencia circunstancial de falta de contradicciones es suficiente para disipar cualquier duda seria. Además, dado que elegimos los axiomas con los que trabajamos, si se encuentra una contradicción con la elección actualmente (más o menos) aceptada de axiomas, simplemente cambiaremos los axiomas para que la contradicción encontrada desaparezca. Es poco probable que eso suceda, pero si sucede, (probablemente) no será un gran problema y la mayoría de las matemáticas sobrevivirán intactas.

En cuanto a la confusión de tu amigo/a con los dos resultados que mencionas, solo te está llevando aproximadamente 300 años atrás en el tiempo cuando la gente tenía todo tipo de ideas extrañas sobre el infinito y antes de que se establecieran definiciones rigurosas para tratar con series infinitas. Las contradicciones aparentes que ves no son más que el resultado de jugar descuidadamente con conceptos indefinidos. Estos problemas se resolvieron de inmediato con la llegada del cálculo riguroso. (La serie que mencionas simplemente no converge, no a ningún número. En cuanto al concepto de infinito, se puede definir rigurosamente de muchas maneras diferentes y se puede manipular sin causar contradicciones, siempre y cuando se entienda el contexto).

Answer 3

Ya existe una gran respuesta general por Ittay Weiss, así que intentaré un enfoque diferente. De hecho, intentaré explicar un poco la suma infinita que mencionaste. En cuanto al infinito, se podría escribir mucho al respecto (principalmente porque hay múltiples infinitos, cada uno con diferentes propiedades), y ni siquiera podría esperar encajarlo aquí. Desafortunadamente, no conozco ninguna fuente o texto sobre el infinito que me gustaría recomendar.

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Considera la siguiente suma infinita

$$G(x) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + \ldots = \sum_{i = 0}^{\infty}x^i.$$

No tenemos idea de lo que tal suma podría significar (sin ninguna definición adecuada, que no se mencionó). Sin embargo, supongamos que pudiéramos manipularlo de manera similar a los números. Comencemos multiplicando por $x$

$$x\cdot G(x) = x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots = \sum_{i = 0}^{\infty}x\cdot x^{i},$$

y luego sumamos $x^0 = 1$ (asumimos que $x \neq 0$)

$$1 + x\cdot G(x) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots = x^0 + \sum_{i = 1}^{\infty}x^{i} = \sum_{i = 0}x^i.$$

¡Obtuvimos la misma expresión! En otras palabras, aún no sabemos qué significa $G(x)$, pero si significa algo similar a un número, entonces ese número debe satisfacer

$$G(x) = 1+x\cdot G(x),\quad \text{ es decir, }\quad G(x) = \frac{1}{1-x}.$$

De hecho, hay una forma de especificar qué significa $G(x)$ para $|x| < 1$ y luego, por ejemplo, $$G\left(\frac{1}{2}\right) = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2.$$

Por otro lado, para otros valores de $x$ obtenemos resultados peculiares, como

$$G(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots = \frac{1}{1-2} = -1,$$

lo que significaría que la suma de números positivos se volvió negativa. Sin embargo, esto se debe a que no definimos qué significaría $G(2)$, solo dijimos que podríamos hacerlo para $|x| < 1$. Sin embargo, hay una forma de lidiar con esto (por ejemplo, consulte números p-ádicos), pero para $x=1$ obtenemos un resultado aún más extraño, es decir,

$$G(1) = 1 + 1 + 1 + \ldots = \frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} =\ ?!$$

Ocurre una situación similar con tu secuencia. Considera

\begin{align} S(x) &= 0\cdot x^0 + 1\cdot x^1 + 2\cdot x^2 + 3\cdot x^3 + \ldots = \sum_{i = 0}^{\infty} i \cdot x^i \\ x\cdot S(x) &= \color{white}{0 \cdot x^{?}} + 0 \cdot x^1 + 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^3 + \ldots = \sum_{i=0}^{\infty} i\cdot x^{i+1} \\ x\cdot G(x) + x\cdot S(x) &= 0\cdot x^0 + 1\cdot x^1 + 2\cdot x^2 + 3\cdot x^3 + \ldots = \sum_{i = 0}^{\infty} i \cdot x^i \\ S(x) &= x\cdot G(x) + x \cdot S(x) \\ S(x) &= \frac{x \cdot G(x)}{1-x} = \frac{x}{(1-x)^2} \end{align}

lo cual es cierto para $|x| < 1$ (es decir, podemos definir la suma infinita de una manera que haga que la igualdad anterior sea cierta con un $x$ apropiado), pero con $x = 1$ obtenemos

$$ S(1) = \frac{1}{(1-1)^2} = \frac{1}{0} = \ ?! $$

Por otro lado, observa que

\begin{align} S(1) &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \ldots \\ 4S(1) &= \color{white}{0} + 4 + \color{white}{0} + 8 + \color{white}{0} + 12 + \ldots \\ -3S(1) &= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots \\ -S(-1) &= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = -\frac{-1}{\big(1-(-1)\big)^2} = \frac{1}{4} \\ -3S(1) &= -S(-1) = \frac{1}{4} \\ S(1) &= -\frac{1}{12} \end{align}

lo que significa que, si hay alguna interpretación similar a un número de $S(1)$ (y $S(-1)$ que hemos usado), entonces debe ser igual a $-\frac{1}{12}$. Sin embargo, ten en cuenta que no discutimos si realmente existe tal interpretación. Sin embargo, esas interpretaciones de $S(x)$ que permiten $S(1)$ también explican por qué la suma de valores positivos podría considerarse negativa (es decir, dada una interpretación particular, deja de ser extraño). Si deseas saber más al respecto, puedes comenzar aquí.

Espero que esto ayude $\ddot\smile$

Answer 4

La apariencia más común de contradicciones en matemáticas es cuando uno inserta sus propias ideas sobre un concepto u objeto matemático que en realidad no son verdaderas.

Por ejemplo, insertar la idea de que $1 + 2 + 3 + 4 + \ldots$ se supone que representa el tipo de suma infinita que se aprende en cálculo introductorio.

Hay una serie de otros métodos de sumación para series de números. Uno que aparentemente se usa mucho en teoría analítica de números y física teórica es la regularización zeta; al verse como una suma regularizada zeta en lugar de una suma de cálculo introductorio, la serie $1 + 2 + 3 + 4 + \ldots$ en efecto suma a $-\frac{1}{12}$.

Desafortunadamente, hay demasiadas cosas que los matemáticos quieren calcular para tener una noción inequívoca para todas ellas.

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La parte más difícil de $\infty$ es que la gente común parece tener la idea de que "Infinito" es un nombre propio que se refiere a una noción específica.

En realidad, hay muchos tipos diferentes de estructuras matemáticas que funcionan de diferentes maneras. Por ejemplo, la recta real extendida tiene dos puntos llamados $+\infty$ y $-\infty$, que se encuentran en los extremos de la recta numérica.

Sin embargo, la recta proyectiva real tiene solo un punto extra, al que llama $\infty$, pero se encuentra en ambos extremos de la recta numérica. (piensa en la recta numérica como si se enrollara como un círculo, con $\infty$ siendo el lugar donde se encuentran los 'extremos'. O piensa en los videojuegos antiguos donde al salir de un extremo del mapa apareces en el otro lado)

Y las nociones de números ordinales y cardinales que se hablan en teoría de conjuntos incluyen muchos números infinitos (ninguno de ellos llamado "infinito"), y realmente no tienen nada que ver con los números mencionados anteriormente como $+\infty$, $-\infty$, o $\infty$.

Esto puede resultar desconocido para la persona común, que sigue aprendiendo de nuevas estructuras matemáticas que extienden las anteriores; uno aprende sobre los números naturales (y luego sobre el cero si se usa la convención de que los números naturales son positivos en lugar de no negativos), luego sobre los números negativos, números racionales, números reales y números complejos.

La persona común naturalmente construye la idea de que hay "un verdadero universo" de números y los números que aprende en la escuela simplemente forman más y más parte de este universo.

Pero desafortunadamente, esa es una visión muy incorrecta de las matemáticas. Los matemáticos inventan nuevas estructuras todo el tiempo para cuantificar o describir de otra manera los tipos de cosas que están estudiando, y al estar motivadas y usadas para diferentes propósitos, a menudo no encajan juntas.

Por ejemplo, las rectas reales extendidas y las rectas proyectivas reales son incompatibles entre sí. Y son bastante incompatibles con otros contextos que ponen más énfasis en las leyes algebraicas que en la imagen geométrica. (por ejemplo, $x + x = x$ tiene tres soluciones en los números reales extendidos)

Answer 5

"¿Hay contradicciones en las matemáticas?" Es una gran pregunta. Antes del Paradoja de Russell se creía generalmente que no existían contradicciones. Mejor dicho, el asunto aún no había sido descubierto. Después de Bertrand Russell apareció la primera crisis en las matemáticas. Y, desde mi punto de vista, el problema no fue resuelto y aún no está resuelto. Sé que existe la Teoría de Conjuntos y Clases, respaldada por un conjunto de axiomas, a partir de los cuales podemos deducir todos los teoremas demostrados conocidos. Pero para mí eso no resolvió el problema. Los axiomas fueron elegidos precisamente para poder derivar todas las matemáticas conocidas hasta ese momento. Entonces... lo único que hicimos fue separar los resultados contradictorios de los no contradictorios, definiendo no-contradictorio = derivable-de-axiomas. Por lo tanto, aún no sabemos exactamente qué es una contradicción en las matemáticas o por qué aparecen. Solo podemos hacer matemáticas que se derivan de los axiomas, por lo que las contradicciones son imposibles por definición en el rango de los axiomas. Y eso, en mi opinión, es terrible, porque hemos matado las matemáticas. No podemos ir más allá de los axiomas, y estos no son perfectos (hay escritos conocidos que señalan que nos faltan axiomas para demostrar la Conjetura de Goldbach, para encontrar el término general de la Lista de Números Primos, o para obtener la fórmula Bien Ordenada para los Números Reales). Creo que estamos en una verdadera crisis matemática que no podemos enfrentar porque no somos conscientes de ella, o no queremos serlo. No he encontrado escritos sobre este tema y me encantaría que alguien pudiera dar alguna pista de dónde encontrarlos o al menos buscarlos.