¿Cuántas funciones suaves no son analíticas?

Question

Sabemos que del ejemplo que no todas las funciones suaves (infinitamente diferenciables) son analíticas (iguales a su expansión de Taylor en todos los puntos). Sin embargo, los ejemplos de la página enlazada parecen bastante artificiosos, y la mayoría de las funciones suaves que he encontrado en matemáticas y física son analítica.

¿Cuántas funciones suaves no son analíticas (en términos de medida o cardinalidad)? ¿En qué situaciones se encuentran estas funciones? ¿Se encuentran alguna vez fuera del análisis real (por ejemplo, en física)?

Answer 1

No es difícil ver que la colección de $C^{\infty}$ funciones que no son analíticos en cada punto es $c$ -densa en el espacio de las funciones continuas definidas en un intervalo compacto (sup métrica). Para ver esto, dejemos que $f$ sea una función continua de este tipo y elija $\epsilon > 0.$ A continuación, elija cualquier $C^{\infty}$ y la función analítica de ninguna parte $\phi$ que está acotado entre $-1$ y $1.$ (Toma $\frac{2}{\pi}$ veces la arctangente de un ejemplo no acotado, si un ejemplo acotado entre $-1$ y $1$ no está a mano). Deja que $P$ sea un polinomio cuya distancia supramétrica a $f$ es menor que $\frac{\epsilon}{3}$ (Teorema de aproximación de Weierstrass). Ahora dejemos que $g = \left(\frac{\epsilon}{3}\right)\phi + P.$ A continuación, para cada uno de los $c$ -muchos números reales $\delta$ tal que $0 < \delta < \frac{\epsilon}{3},$ la función $g + \delta$ es: (a) $C^{\infty}$ (b) no es analítica en ninguna parte, (c) pertenece a la $\epsilon$ -bola centrada en $f.$ Esta última parte implica la desigualdad del triángulo, y antes necesitamos el hecho de que si $\phi$ es $C^{\infty}$ y en ninguna parte analítica, entonces la composición $\arctan \circ \phi$ es $C^{\infty}$ y en ninguna parte analítica y $\left(\frac{\epsilon}{3}\right)\phi + P + \delta$ es $C^{\infty}$ y en ninguna parte analítica. Obsérvese que también podemos obtener fácilmente $c$ -muchas de esas funciones arbitrariamente cercanas (sup métrica) a cualquier función continua definida en $\mathbb R$ empalmando adecuadamente las funciones en los intervalos $...\; [-2,-1],$ $[-1,0],$ $[0,1],$ $[1,2],\; ...$

Cualquier tipo de resultado de cardinalidad se ve bastante superado por este resultado, pero considerando formas más fuertes de "largueza" podemos hacerlo mejor. Los resultados que conozco implican la categoría Baire y la idea de prevalencia (complemento de un conjunto nulo de Haar), y cada uno implica la $c$ -resultado denso arriba (y mucho más). En 2002 publiqué un par de ensayos largos en sci.math sobre $C^{\infty}$ y funciones analíticas de ninguna parte. Por alguna razón nunca fueron archivados por el sitio sci.math de google, pero se pueden encontrar en el sitio sci.math del Foro de Matemáticas. Un día podría LaTeX estos ensayos para publicar en este grupo, pero dudo que voy a tener tiempo en un futuro próximo.

ENSAYO SOBRE LAS FUNCIONES ANALÍTICAS DE C-INFINITO EN NINGUNA PARTE Parte 1 (9 de mayo de 2002) y Parte 2 (19 de mayo de 2002)

Answer 2

En términos de cardinalidad, hay el mismo número de funciones suaves y analíticas, $2^{\aleph_0}$ . Las funciones constantes son suficientes para ver que hay al menos $2^{\aleph_0}$ funciones analíticas. El hecho de que una función continua esté determinada por sus valores en un subespacio denso, junto con mi presunción de que te refieres a funciones suaves en un espacio separable, implica que hay como máximo $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ funciones suaves.

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Añadido : A la luz de la edición de la pregunta, debo mencionar que la cardinalidad del conjunto de funciones suaves no analíticas es también $2^{\aleph_0}$ . Esto se puede ver tomando los múltiplos constantes de alguna función de bache.

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No sé las medidas, pero las funciones analíticas son una subclase muy especial de las funciones suaves (algo que siento dejar impreciso de momento, pero espero que alguien dé una respuesta mejor aquí ( Añadido : Ahora lo ha hecho Dave L. Renfro)). También son importantes, útiles y relativamente fáciles de trabajar, que es parte de la razón por la que son tan frecuentes en las matemáticas y la física que has visto.

¿Dónde se encuentran? Funciones de la memoria son importantes en las ecuaciones diferenciales y los colectores, así que supongo que son importantes en la física. Las funciones de protuberancia son suaves y no analíticas.

Answer 3

Me encontré con este ejemplo extravagante, encontrar suave $f(x)$ tal que $f(f(x)) = \sin x$ con $f(0)=0$ y $f'(0) = 1.$ El hecho de que esto se pueda resolver no es nada trivial. Resulta que es analítico entre cada $(k \pi, (k+1) \pi)$ pero sólo $C^\infty$ en $0-$ y todos los múltiplos de $\pi.$ Imagínate. La respuesta es periódica, se parece a la onda sinusoidal pero con una amplitud ligeramente mayor. Esto se puede ver ya que, para $0 < x \leq \frac{\pi}{2},$ la función está entre $\sin x$ y $x.$

Véase la respuesta a mi propia pregunta en https://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765

Answer 4

En respuesta a tu primera pregunta, no es difícil ver que hay un número continuo de funciones continuas, y por lo tanto un número continuo de funciones analíticas (considera los valores de dichas funciones en puntos racionales; además, las funciones constantes proporcionan al menos un número continuo.

Por otra parte, hay 2^c muchas funciones medibles de Lebesgue de los reales: Si S es un subconjunto cualquiera del conjunto cantor, la función indicadora de S es medible por Lebesgue, ya que tiene medida 0. Sin embargo, sólo hay un número continuo de funciones medibles por Borel.

Tal vez querías preguntar: "¿Cuántas funciones suaves hay no analítica?" Puedo ver una especie de prueba de imagen en mi tenía que en la topología de las funciones continuas de los reales, las funciones no analíticas son un subconjunto denso del conjunto de funciones suaves.