Interpretación del significado del Teorema de Darboux

Question

Supongamos que $f$ es diferenciable en $[a, b]$ . Demostrar que si $f'(a) < c < f'(b)$ entonces $f'(x) = c$ para algunos $x$ en $(a,b)$ . (Este resultado se conoce como Teorema de Darboux .)

Fuente: Spivak's Cálculo Capítulo 11 - Significado de la derivación.

Me cuesta imaginarme esto o interpretarlo... ¿Qué implicaciones tiene esto?

Del mismo modo, para otro teorema introducido en el mismo capítulo, tengo el problema de ver el significado de este...

Supongamos que $f$ es continua en $a$ y que $f'(x)$ existe para todos los $x$ en algún intervalo que contenga $a$ , excepto tal vez por $x = a$ . Supongamos, además, que $\lim \limits_{x \to a} f'(x)$ existe. Entonces $f'(a)$ también existe, y $f'(a) = \lim \limits_{x \to a} f'(x)$ .

¿No significa esto que $f'$ es simplemente continua en el punto $a$ ?

Answer 1

Si una "Teoría del Todo" significa un método computacional para describir cualquier situación, y existen fórmulas aritméticas verdaderas (como ha demostrado Gödel) que no pueden ser probadas, existen fórmulas aritméticas verdaderas que son necesarias para describir alguna situación que no puede ser descubierta computacionalmente, o si es descubierta incidentalmente, no puede ser probada como verdadera. Así, por ejemplo, este método computacional, para ser completo, tendría que ser capaz de demostrar la validez de la matemática y la lógica, sin usar la matemática y la lógica, ya que la matemática y la lógica están separadas de la física.

La definición anterior de que "el teorema de Gödel es una afirmación de que es imposible predecir el comportamiento en tiempo infinito de un programa de ordenador" es a la vez incorrecta y anacrónica (al principio Gödel rechazó la definición de Church-Turing de 'computabilidad', pero más tarde (es decir, en 1946) tuvo que descubrirla por sí mismo). Además, Gödel no era un informático, aunque su lógica les fuera útil más adelante. El problema descrito anteriormente es una aplicación específica del teorema de Gödel llamada "Problema de detención", pero su teorema es mucho más amplio que eso y sus implicaciones mucho mayores. Lo que el primer teorema de Gödel afirma básicamente es que

Cualquier sistema axiomático efectivamente generado $S$ no puede ser a la vez consistente y completa. En particular, para cualquier sistema axiomático efectivamente generado $S$ que es consistente y que demuestra que ciertas conclusiones básicas son verdaderas, hay algunas conclusiones básicas verdaderas que no son demostrables dentro de ese sistema $S$ .

Para cualquier sistema axiomático formal efectivamente generado $S$ , si $S$ incluye una declaración de su propia consistencia entonces S es inconsistente.

Una de las respuestas anteriores lo señalaba:

1. El teorema de Gödel sólo se aplica a los sistemas axiomáticos formales (lo cual es cierto)

Sin embargo, continúa sugiriendo que "casi ninguna teoría física útil del mundo real ha sido declarada como sistema axiomático formal". Esto es completamente falso, dado el modo en que Gödel definió los sistemas axiomáticos formales. Por sistemas axiomáticos formales, Gödel entendía "computable", es decir, cualquier sistema capaz de derivar resultados (conclusiones) a través de funciones (o lógica) algorítmicamente computables. La física depende completamente de dos sistemas de este tipo: las matemáticas y la lógica, lo que significa que la física también lo es.

¿Realmente se está sugiriendo que la Física no es computable? La física hace predicciones utilizando las matemáticas y la lógica, que son sistemas axiomáticos formales. La física también describe su comportamiento observado utilizando los mismos sistemas. La física no es más que un sistema axiomático formal utilizado para describir la naturaleza, aunque presupone estos otros sistemas. Aunque algunos de sus axiomas sean observados o medidos, deriva resultados de estos, o leyes sobre ellos a través de funciones que se pueden calcular ( $E=MC^2, F=MA$ ), por lo que Gödel es absolutamente aplicable.

Esto significa que una Teoría del Todo y, de hecho, la física debe ser o bien internamente consistente, pero incompleta, lo que significa que no es capaz de describir todas las situaciones posibles, o bien debe ser completa pero inconsistente, lo que significa que es capaz de describir todas las situaciones posibles, pero contiene inconsistencias (autocontradicciones). El hecho de que la física requiera de las matemáticas para demostrar sus propias verdades muestra que la física es incompleta (ya que necesita presuponer la consistencia de las matemáticas como sistema axiomático), al igual que las matemáticas requieren de la lógica para demostrar sus teoremas (por la misma razón, las matemáticas no pueden demostrar la lógica, sino que simplemente deben presuponerla). Esto es una prueba directa de la afirmación de Gödel de que ningún sistema axiomático puede demostrar su propia consistencia, y por tanto, es incompleto. Además, también se ha demostrado que el teorema de Incompletitud se cumple incluso en la Mecánica Cuántica (que también es consistente, pero no completa).

Cualquier "Teoría del Todo" no puede ser completa, ya que no puede explicar las matemáticas, ni la lógica, y habrá fenómenos físicos cuyo comportamiento no puede ser computado. Al igual que la propia física, la física de una TOE, además de la observación física, requiere matemáticas y lógica, lo que demuestra lo incompleta que es la física por sí misma (aunque sea consistente).

Answer 2

Recordemos el Teorema del Valor Intermedio: dice que si $f$ es continua en $[a,b]$ y $c$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ entonces hay algo de $x\in(a,b)$ tal que $f(x)=c$ . En otras palabras, una función continua no puede pasar de $f(a)$ a $f(b)$ sin pasar por cada valor intermedio.

Ahora bien, la derivada de una función no tiene por qué ser continua, por lo que el Teorema del Valor Intermedio no garantiza que si $c$ está entre $f\;'(a)$ y $f\;'(b)$ entonces hay algo de $x\in(a,b)$ tal que $f\;'(x)=c$ . No obstante, esta afirmación es cierta: si $f$ es diferenciable en un intervalo, su derivada $f\;'$ tiene esta misma propiedad de valor intermedio que poseen todas las funciones continuas. En otras palabras, una derivada no puede pasar de $f\;'(a)$ a $f\;'(b)$ sin pasar por cada valor intermedio aunque no sea continuo . Este es el contenido del teorema de Darboux.

Tienes razón en que la conclusión del segundo teorema que citas es que $f\;'$ es continua en $a$ . El teorema podría reformularse de la siguiente manera:

Si $f$ es continua en $a$ Hay $b<a$ y $c>a$ tal que $f\;'(x)$ existe para todos los $x\in(b,a)\cup(a,c)$ y $\lim\limits_{x\to a}f\;'(x)$ existe, entonces $f\;'$ es continua en $a$ .