Deje $X$ ser un infinito dimensional espacio de Banach y $B=\{x\in X:\ \|x\|\leq 1\}$.
Cómo definir un continuo $f:B\rightarrow B$ sin puntos fijos?
Edit 1: he cambiado la pregunta de la pequeña, porque si $f$ es lineal, a continuación,$f(0)=0$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este documento muestra que en un arbitrario normativa, de infinitas dimensiones del espacio, hay un mapa continuo en su unidad de balón (dentro de su unidad de pelota) que es de punto fijo gratis con aún más propiedades.
Según los autores, el hecho de que cada infinitas dimensiones normativa espacio admite un punto fijo gratuito, mapa continuo en su unidad de balón se demostró por primera vez, usando el Axioma de Elección, en el Teorema 6.3 de [1], a continuación, y fue demostrado más adelante el uso de un "más constructiva" a prueba, en [2], a continuación.
Por supuesto, para espacios específicos, no es demasiado difícil encontrar fija-mapas gratis. Por ejemplo, si $X=c_0$, entonces el mapa de $B_X$ $B_X$que envía el elemento $x=(x_1, x_2,\ldots)$ $(1-\Vert x\Vert, x_1,x_2,\ldots)$es continua (de hecho, no expansivo) y de punto fijo gratis. Un ejemplo en el espacio de $\ell_2$ es dado en Patrick Da Silva respuesta; y esto se puede generalizar a los ejemplos para $\ell_p$ espacios como sugiere Tomás en los comentarios a su post.
[1] J. Dugundji, Una extensión de Tietze teorema, Pacific Journal of math., I (1951), 353-367
[2] V. L. Klee, Jr., Algunas propiedades topológicas de los conjuntos convexos, Trans. Amer. De matemáticas. Soc., 78, (1955), 30-45.
Silver Gun
Puntos
25
Creo que un buen lugar para empezar sería si $X$ es un espacio de Hilbert con una contables (sí, lo sé... un montón de extras). Esto es debido a que estos espacios tienen una base, por lo tanto podemos escribir $$ \mathcal E = \{ e_1, e_2, \dots, e_n, \dots \} $$ como una base de Hilbert el espacio. Para $x \in B$, tenemos $$ x = \sum_{n=1}^{\infty} (x,e_n) e_n = \sum_{n=1}^{\infty} \underset{(x,e_n)}{\underbrace{x_n}} e_n. $$ Definir $$ f(x) \desbordado{def}{=} \frac 12 e_1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}2 e_{n+1} = \frac 12 e_1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{ x_{n-1} }2 e_n $$ Es continua a medida que la serie parte de la función es lineal y acotado función y simplemente nos lo tradujo. (Los coeficientes $\frac 12$ son para preservar $\| x \| \le 1$. Me acabo de dar cuenta que escribí esta respuesta suponiendo que esto sería suficiente para $f(x) \in B$, pero ahora veo que no lo es. Supongo que esta respuesta se restringe a los casos en que $f(x)$, como se definió anteriormente, es en $B$.) No tiene punto fijo, porque si $f(x) = x$, debemos tener $x_{n-1} = x_n = 1/2$ por inducción, lo que significa que $x \notin H$ debido a que la norma de este candidato punto fijo $x$ no es finito. \prg Ahora que la idea está ahí, podemos ir a Hilbert espacios arbitrarios (infinito) base : elija un no-surjective inyección $$ \omega : \mathcal E \a \omega(\mathcal E) $$ que no tiene finito de ciclos (y, en particular, no hay puntos fijos). Creo que esto requiere el axioma de elección en algún momento. Después, dejar que $$ x = \sum_{e \in \mathcal E} (x,e) e = \sum_{e \in \mathcal E} x_e e, $$ deje $e_0 \in \mathcal E \backslash \omega(\mathcal E)$ y definir $$ f(x) = \frac 12 e_0 + \sum_{e \in \mathcal E} x_e \omega(e). $$ Si $f(x) = x$,$x_e = x_{\omega(e)}$. Si existe un $e$$x_e \neq 0$, por supuesto que $\omega$ no tiene ningún finito de ciclos, esto significa $$ x_e = x_{\omega(e)} = x_{\omega(\omega(e))} = \dots = x_{\omega^n(e)} $$ para cada entero $n$, lo que conduce a una contradicción, porque $x$ debe tener "acotada norma". Por lo tanto, el único punto fijo de la izquierda sería $x = 0$, pero no es fijo. Tenga en cuenta que el mismo comentario acerca de $f(x) \in B$ se aplica aquí...
Creo que una forma de resolver el problema de la $f(x) \in B$ sería para sustituir a mi la serie a la derecha de mi definición de $f(x)$ por un funcional lineal con ningún punto fijo distinto de $0$ y con el operador de norma menor que $\frac 12$ que no está surjective (de modo que usted puede encontrar $e_0$). Como para el general $X$ espacio de Banach, no tengo ni idea, pero esto es lo más cerca que pude conseguir. Mi respuesta fue destinado a ser un gran comentario.
Espero que ayude,
