Ellipticity de tensor de Ricci, ¿dependen de las coordenadas?

Question

Bueno, me temo que esto es una pregunta tonta porque sé que la respuesta es 'sí, sí'. Pero no veo por qué no. Puedo poner el problema en su contexto.

El tensor de ricci, puede ser considerado como un operador diferencial que actúa de métricas (que es una expresión que depende del primero y segundo derivados de la métrica). Dar la ricci una métrica en su colector $M$ un ricci le da un simétrica de dos tensor. Es no lineal. $$ Ric: \{\text{métricas en } M\} \\{\text{simétrica de dos tensores en }M\} $$ Entonces, uno dice que el tensor de ricci es de forma elíptica en la métrica $g$ si su diferencial en $g$ denotado por $L:=d_g Ric$ es de forma elíptica. Tenga en cuenta que desde {métricas en $M$} es un conjunto abierto del espacio vectorial de simétrica de dos tensores, tenemos $$ L: \{\text{simétrica de dos tensores}\} \\{\text{simétrica de dos tensores}\} $$ y $L$ es un operador diferencial lineal de orden dos.

Recordemos que $L$ es, por definición, elíptica si para cada a $\xi \in T^*_x M$ su principal símbolo $$ p(\xi,x): \{\text{simétrica formas bilineales en } x \} \\{\text{simétrica formas bilineales en } x \} $$ es un isomorfismo para $\xi \ne 0$. En las coordenadas de la principal símbolo se obtiene sólo por tomar la parte que involucra a dos de los derivados, y en la parte cambiando cada $\nabla_i$ se encuentra en $\xi_i$, $i-th$ coordenadas de $\xi$. Resulta que $p(\xi,x)$ no dependen o coordenadas considerado como un endomorfismo entre espacios vectoriales.

De hecho, vamos a $z$ ser un bilineal simétrica forma en $T_x M$ y deje $u$ ser simétrica, dos tensor en $M$ tal que $u(x)=z$. Deje $\phi$ ser una función suave en $M$$\phi(x)=0$$d_x \phi =\xi$. A continuación,$p(x,\xi)z = L(\phi ^2 u)|_x$. Esta invariante definición es en Besse de Einstein Colectores.

Así que el principal símbolo considerado como un endomorfismo entre espacios vectoriales no dependen de las coordenadas, por lo que de ser elíptica no debe depender de las coordenadas. Pero los libros, por ejemplo Besse de Einstein Colectores, dice que el tensor de ricci es de forma elíptica en armónica coordenadas, y no es elíptica en cualquier sistema de coordenadas.

Debo decir que nunca se dijo explícitamente que el operador de ricci no es elíptica en cualquier coordenadas, pero puedo deducir que debido a la forma elíptica de la regularidad de los resultados no son verdaderas en cualquier sistema de coordenadas.

La pregunta es ¿cómo es posible que siendo elíptica depens en coordenadas?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Como se observa, la ellipticity de la Ricci operador (o cualquier operador diferencial parcial) no depende de una elección de coordenadas. El operador de Ricci nunca es elíptica.

Si usted asume que las coordenadas $(x^i)$ son armónicas para la métrica $g$, y escribir la expresión coordinada por $\text{Ric}(g)$ en estas coordenadas, algunos de los términos cancelar debido a la harmonicity condición, y usted termina con una expresión de la forma $\text{Ric}(g) = P(g)$ donde $P$ es un elípticas no lineales de segundo orden diferencial operador. Esto es lo que la gente quiere decir cuando dicen "el tensor de Ricci es de forma elíptica en armónica coordenadas." Sin embargo, la expresión de $P(g)$ no le da el tensor de Ricci para cada métrica $g$; sólo para aquellos indicadores para los que las coordenadas proporcionadas pasar a ser armónico.

El uso más importante para la armónica de coordenadas está en la comprobación de la regularidad de los teoremas. Por ejemplo, si usted puede demostrar que el tensor de Ricci es suave y armónico de las coordenadas, entonces en esas coordenadas de la métrica satisface la ecuación elíptica $P(g) = \text{Ric}$, y se sigue de elíptica regularidad que la métrica en sí es suave en esas coordenadas. Un argumento similar puede ser utilizado para mostrar que cada Einstein métrica es real-analítica en coordenadas apropiadas.

Es posible utilizar las variaciones en esta idea para demostrar la existencia de Einstein métricas, o métricas con lo prescrito tensor de Ricci, en algunos casos. Básicamente, la idea es escribir un par de ecuaciones, uno de los cuales dice $P(g)=\text{something}$, y el otro que dice que las coordenadas proporcionadas son armónicas de las coordenadas de $g$. Usted puede pensar en esto como un sobredeterminada elíptica sistema para $g$, o como un acoplado sistema de ecuaciones para ambos $g$ y las coordenadas.

En realidad, para la mayoría de la existencia de resultados, es mejor utilizar una forma más global de la enfermedad en lugar de armónicos de coordenadas, de modo que usted no está limitado a trabajar en un gráfico de coordenadas. Existen diversas condiciones (normalmente llamado "indicador de ruptura condiciones") que se han utilizado. Un clásico es el llamado DeTurck truco. Robin Graham y me explicó la relación entre la DeTurck truco y armónico de las coordenadas en la introducción a este artículo.