Cómo probar $a_{n}=[\sqrt{2}n]+[\sqrt{5}n]$ Contiene números infinitamente pares.

Question

dejar que la secuencia $$a_{n}=[\sqrt{2}n]+[\sqrt{5}n]$$

donde $[x]$ es el mayor número entero no mayor que $x$

demostrar que $\{a_{n}\}$ Contiene números infinitamente pares.

también supongo que contiene números infinitamente Impares.

antes de haber preguntado esto Cómo probar esta secuencia $S_{n}=[2^n\cdot \sqrt{2}],n\in N$ contiene infinitos números compuestos

He encontrado : $$a_{2}=[2\sqrt{2}]+[2\sqrt{5}]=2+4=6$$ $$a_{3}=[3\sqrt{2}]+[3\sqrt{5}]=4+6=10$$ $$a_{5}=[5\sqrt{2}]+[5\sqrt{5}]=7+11=18$$ $$a_{7}=[7\sqrt{2}]+[7\sqrt{5}]=9+15=24$$ $$a_{8}=[8\sqrt{2}]+[8\sqrt{5}]=11+17=28$$ $$a_{9}=[9\sqrt{2}]+[9\sqrt{5}]=12+20=32$$ $$a_{10}=[10\sqrt{2}]+[10\sqrt{5}]=14+22=36$$ $$a_{12}=[12\sqrt{2}]+[12\sqrt{5}]=16+26=42$$ $$a_{14}=[14\sqrt{2}]+[14\sqrt{5}]=19+31=50$$ $$a_{15}=[15\sqrt{2}]+[15\sqrt{5}]=21+33=54$$

y así sucesivamente este problema es mi encontrado. Parece que este es un problema interesante, y ¿Cómo probarlo?

Gracias

Answer 1

Al aumentar $n$ por uno, $\lfloor \sqrt 2 n \rfloor$ aumenta en $1$ (con frecuencia $2-\sqrt 2$ ) o $2$ (con frecuencia $\sqrt 2 - 1$ ), mientras que $\lfloor\sqrt 5n \rfloor$ hace por $2$ (con frecuencia $3-\sqrt 5$ ) o $3$ (con frecuencia $\sqrt 5 - 2$ ). Si su secuencia sólo contiene un número finito de términos Impares (o pares), entonces tiene que aumentar en $4$ a cada paso más allá de un determinado punto.

Esto significa que siempre que $\lfloor\sqrt2 n\rfloor$ aumenta en $2$ (resp. $1$ ), $[\sqrt 5 n\rfloor$ aumenta en $2$ (resp. $3$ ). Sin embargo, la frecuencia con la que se producen esos incrementos es diferente. Por lo tanto, esto es imposible, y por lo que debe obtener infinitamente muchos términos pares / Impares .

Se puede hacer esta prueba más precisa y demostrar que no puede haber más de $4$ términos consecutivos de la misma paridad.