¿Por qué no hay compacto colector sin límite con los siguientes grupos de homología?

Question

He estado estudiando la homología de grupos, y esta pregunta está haciendo campaña en mí:

Demostrar que no puede haber compacto colector $X$ sin límite cuya homología de grupos $$H_i(X) = \left\{ \begin{array}{ll} \mathbb{Z} & i = 0 \\ \mathbb{Z}_3 & i=1 \\ 0 & i = 2 \\ \mathbb{Z}_2 & i=3 \\ 0 & i\geq 4 \end{array} \right.$$

Yo intenté crear una cadena de complejos con el fin de mirar diferencial de mapas, y $H_2(X) = 0$ da de inyectividad a uno de los mapas, pero yo no estoy viendo cómo demostrar que no hay tal colector puede existir.

Answer 1

Denotar nuestro espacio por $M$.

Tenga en cuenta que el grupo fundamental no puede tener ningún subgrupo de índice dos, ya que esto constituiría un trivial mapa de $\pi_1M \rightarrow \mathbb{Z}/2$ que deben factor a través de la abelianization de $\pi_1M$, es decir,$\mathbb{Z}/3$. Pero cada mapa $\mathbb{Z}/3 \rightarrow \mathbb{Z}/2$ es trivial.

De dónde $M$ no tiene no trivial doble cubre. Si $M$ eran de un colector, esto implicaría que la orientación de la cubierta doble era trivial, de donde $M$ sería orientable - pero esto es evidentemente falso, porque la homología de grupos de no satisfacer la dualidad de Poincaré para cualquier posible dimensión para el colector.