Brevemente, es "seguro" para aplicar un inyectiva (uno a uno) función cuyo dominio es $\mathbb{R}$ a ambos lados de una ecuación. Esta condición es por lo general muy fuerte, ver a continuación, pero creo que resuelve correctamente a la pregunta original.
En más detalle, decir que la ecuación original tiene la forma $A=B$, en el que $A$ $B$ (por simplicidad, con un valor real) expresiones en una o más variables. Después de la transformación, su ecuación tiene la forma $f(A)=f(B)$ para algunos la función $f$. La pregunta es: "¿Cuándo es el conjunto solución de a $f(A)=f(B)$ idéntica a la de $A=B$?" De inyectividad, por definición, significa que "$f(A)=f(B)$ implica $A=B$". (A la inversa implicación es incorporado en la definición de una función.)
En la pregunta original, $f$ "cuadrar", $f(A)=A^2$, que por supuesto no es inyectiva en a $\mathbb{R}$. "Seguro" opciones de $f$ podría representar la adición de una expresión, multiplicando por un no-cero de la expresión, la extracción de una raíz impar, o exponenciación.
Una vez que esta idea tiene sentido, es fácil de extender. Por ejemplo, si usted sabe que $A$ $B$ representan números reales positivos para todos los valores de las variables, es "seguro" para tomar (real) de los logaritmos o (no negativo) de las raíces cuadradas de ambos lados. Si conoces $|A|$ $|B|$ no más de $\pi/2$, es "seguro" para tomar el seno de ambos lados, etc., etc.
Dos: observaciones:
Una de las razones funciones crecientes son útiles es que preserven las desigualdades: $A<B$ si y sólo si $f(A)<f(B)$. Declaraciones similares para la disminución y la no disminución de las funciones se deja como ejercicio.
Sobre los números complejos, la exponenciación no es inyectiva, por lo que registro de las ramas, lo que conduce a todo tipo de diversión. Mi ejemplo favorito (que se encuentra por un compañero de clase hace muchos años) es este corto de la "prueba":
$$e^z = (e^{2\pi i})^{z/2\pi i} = 1^{z/2\pi i} = 1\quad\text{for all complex $z$}.$$
