Ya que la técnica acreditativa de la homeomorphism es útil en muchas otras situaciones, puede ser vale la pena agregar algunos detalles a Carl respuesta:
Supongamos que $A,B$ son dos contables, denso lineal órdenes sin puntos finales. Nos muestran que ellos son isomorfos mediante la construcción de un isomorfismo $f:A\to B$. Esto se hace mediante lo que llamamos un ida y vuelta argumento. Decir que $A=\{a_n\mediados n\in{\mathbb N}\}$ y $B=\{b_n\mediados n\in{\mathbb N}\}$. Construimos $f$ por etapas. Al final de la etapa de $2n$ nos hemos asegurado de que $a_n\in{\rm dom}(f)$, y al final de la etapa de $2n+1$, nos hemos asegurado de que $b_n\in{\rm corrió}(f)$.
La construcción es simple. Comience por elegir alguno $b\in B$ y dejar que $f(a_0)=b$. Con esto se completa la etapa de 0.
A continuación, hacemos etapa 1: Si $b=b_0$ hemos terminado e ir a la etapa 2. Si $b<b_0$, tomamos un $a\in A$ y $f(a)=b_0$. Por supuesto, ya que $f$ es ser un isomorfismo, que es mejor asegurarse de que $a_0<$. Pero esto es trivial para llevar a cabo, ya que $$ no tiene extremos. Del mismo modo, si $b_0<b$, entonces volvemos $$ por lo que $a<a_0$.
En general, en la etapa de $2n$ hacer lo siguiente: Si $a_n$ ya está en el dominio que hemos construido, hemos terminado con esta etapa. De lo contrario, si $a_n$ es mayor que todos los elementos en el dominio de $f$ hasta el momento, escoger un elemento $c$ a $B$ mayor que el de todos los elementos en el rango de $f$ hasta ahora y $f(a_n)=c$; esto es posible ya que $B$ no tiene ningún elemento más grande. Si $a_n$ es menor que todos los elementos en el dominio actual de $f$, recogida $c$ en $B$ menor que todos los elementos de la gama actual de $f$ y $f(a_n)=c$. De nuevo, esto es posible, ya que $B$ no tiene ningún elemento más pequeño. Por último, si $a_n$ es entre los elementos del dominio actual de $f$, recogida $d,e$ en el dominio actual de $f$ para $d<a_n<e$, $d$ es el más grande por debajo de $a_n$, y $e$ es el más pequeño, por encima de los $a_n$. A continuación, elegir en $B$ algunos $c$ entre $f(d)$ y $f(e)$ y $f(a_n)=c$. Esto es posible, ya que $B$ es denso en sí mismo. Esto finaliza esta etapa.
En la etapa de $2n+1$ hacemos lo mismo, pero ahora asegurar que $b_n$ es poner en el rango de $f$.
Esta construcción nos da un isomorfismo de $f$ en la final: Incluso etapas de asegurar el dominio de $f$ es de $A$, impar etapas que el rango es de $B$. La construcción está diseñado de tal manera para $\alpha,\beta$ en el dominio de $f$, $\alpha<\beta$ si $f(\alpha)<f(\beta)$. Pero esto es precisamente lo que significa ser un isomorfismo.
El método de ida y vuelta es muy flexible. Por ejemplo, es muestra de que cualquiera de los dos contables al azar grafos son isomorfos. Hay un montón de aplicaciones de esta técnica.
