¿Cuál es el significado físico de la debilidad de la expectativa de valores?

Question

En los dos estados formalismo de Yakir Aharanov, la debilidad de la expectativa de valor de un operador $A$$\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi | \psi \rangle}$. Esto puede tener extrañas propiedades. Si $A$ es Hermitian, la debilidad de la expectativa de valor puede ser complejo. Si $A$ es un operador acotado con el valor absoluto de sus autovalores todos delimitada por $\lambda$, la debilidad de la expectativa puede exceder $\lambda$.

Si $A = \sum_i \lambda_i P_i$ donde $\{P_i\}_i$ es una completa ortonormales conjunto de proyectores, la fuerte expectativa de valor es $\frac{\sum_j \lambda_j |\langle \chi |P_j | \psi \rangle|^2}{\sum_i | \langle \chi | P_i | \psi \rangle |^2}$ que también es confuso como el acto de medición afecta a lo que se postselected.

Más específicamente, $|\langle \chi |\psi\rangle|^2 = \sum_{i,j} \langle \psi | P_i| \chi \rangle \langle \chi | P_j | \psi \rangle \neq \sum_i |\langle \chi |P_i|\psi \rangle |^2$ en general.

Answer 1

Primero vamos a hablar de lo que normalmente se entiende por "débil medición". En un estándar de von Neuman en el esquema de medición la medición de los aparatos (llamado "puntero") también es tratado mecánica cuántica y descrito por el estado $\left|\varphi\right>$. El puntero es, junto a la medida del sistema tal que la interacción de hamilton es $H=gAp\delta(t-t_0)$ donde $A$ es el observable a ser medido, y $p$ el puntero del impulso. Después de la interacción de la posición del puntero se convierte en correlación con los valores propios de la observables $A$: $$\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\rightarrow e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>=\sum a_i\left|\psi_i\right>\left|\varphi(x-ga_i)\right>,$$ so by measuring the pointer position we can infer information about $a_i$. The measurement is "strong" if $\left<\varphi(x-ga_i)|\varphi(x-ga_k)\right>\sim\delta_{ik}$, es decir, las distintas puntero estados insignificante se superponen. Esto corresponde a un estándar proyectiva de medición (una buena descripción es dada aquí).

La medición se considera débil en el límite opuesto, cuando el acoplamiento es débil suficiente para que el puntero a los estados a que tienen gran superposición. Si después de la interacción que postselect el sistema en el estado $\left|\chi\right>$, el puntero del estado es: $$\left|\varphi_\chi\right>=\left<\chi\right|e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\approx\left<\chi|\psi\right>e^{-igA_wp}\left|\varphi\right>,$$ donde $A_w$ es la debilidad de valor.

La parte real de $A_w$ corresponde a la traducción de el puntero de coordenadas como en el fuerte de medición: $$\left<x\right>=\left<x\right>_0+g\mathrm{Re}(A_w),$$ mientras que la parte imaginaria se corresponde con el cambio de puntero de impulso: $$\left<p\right>=\left<p\right>_0+2g\mathrm{Im}(A_w)\mathrm{Var}_p,$$ donde $\mathrm{Var}_p=\left<\varphi|p^2|\varphi\right>-\left<\varphi|p|\varphi\right>^2$ es la inicial de la varianza de puntero impulso. La prueba en el caso más general se pueden encontrar en este papel por Jozsa.

El momento clave es la selección posterior de el estado final del sistema: los débiles, los valores aumentan a medida que el postselected estado se convierte en casi ortogonales para el estado inicial del sistema. Esto puede ser considerado como una especie de amplificación de pequeñas puntero dispalcements debido a la interacción débil en el gasto de descartando casi todos los resultados en la selección posterior.

Answer 2

El requisito para la validez de las mediciones es débil $$ga_i |\langle \chi | P_i | \psi \rangle | \ll |\langle \chi | \psi \rangle|$$ and $$ga_i \ll 1$$ donde g es la debilidad de la fuerza de acoplamiento y $a_i$ es el i^ésimo valor propio. Así, la debilidad de la expectativa sólo puede ser tan grande como $1/g$ a más.

Answer 3

El problema con complejo de la expectativa de valores es fácil de arreglar. Si es Hermitian, reemplace$\langle A \rangle$$\Re \left\{\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle}\right\}$. Si no Hermitian $\frac{1}{2}\left[ \frac{\langle \psi | A | \chi \rangle}{\langle \psi |\chi \rangle} + \frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle} \right]$ va a hacer.

Como para la expectativa valores superiores a la autovalor, así que es posible que $\langle \chi |P_i| \psi\rangle$ $\langle \chi | P_j| \psi \rangle$ tener signos opuestos, por $i\neq j$, mientras que, simultáneamente, $\lambda_i$ $\lambda_j$ también tienen signos opuestos. Este es un problema inherente con la ampliación de las probabilidades.