He supuesto arriba que todos los coeficientes son positivos, pero esto no es lo más fácil de calcular, así que aplica el isomorfismo $x \mapsto -x$ y ahora los coeficientes se alternan. El volumen no cambia.
Una base para los diferenciales es $\{\omega_i : 1\le i \le g\}$ , donde $$\omega_i = x^{i-1}\frac{dx}{2y}$$
Para $M$ grande, hay una raíz positiva $\alpha_1$ de tamaño $M$ y el otro $2g$ Las raíces son pequeñas. Ahora tenemos que averiguar una base para la homología real (bucles fijados por conjugación compleja). Hay $g-1$ bucles independientes $\gamma_{j+1}$ El $j$ -el bucle que es de $\alpha_{2j}$ a $\alpha_{2j+1}$ y de vuelta alrededor del "agujero" (por ejemplo, si todas las raíces son reales, estos son simplemente los caminos donde el polinomio es positivo). Otro bucle independiente es el de $\alpha_1$ a $\infty$ y de vuelta (siendo real, esto es lo más fácil de entender).
El volumen del jacobiano de la curva es $|det((\int_{\gamma_j} \omega_i)_{ij})|$ . Así que vamos a aproximar estas integrales.
Para cualquier $j>1$ ya que las raíces implicadas son $O(1)$ el bucle $\gamma_j$ está cerca del origen. En esta vecindad la raíz $\alpha_1$ contribuye a $\int_{\gamma_j} \omega_i$ un factor de $M^{-1/2}$ y si la factorizamos (recordemos que sólo queremos una aproximación burda), nos queda una integral cercana al origen sobre una función que es relativamente pequeña. Por tanto, $\int_{\gamma_j} \omega_i \approx M^{-1/2}$ . Tenga en cuenta que esto es lo mismo para cualquier $i$ ya que cerca del origen $x^{i-1}$ no aporta mucho.
Para $j=1$ la integral se puede aproximar como $$\int_{\gamma_1} \omega_i = 2\int_M^\infty \frac{x^{i-1} dx}{2y} \approx \int_M^{2M} \frac{x^{i-1} dx}{\sqrt{x^{2g+1}+\cdot a_0}}$$
Las raíces pequeñas dan a cada uno de los denominadores un factor de $M^{1/2}$ , por lo que podemos aproximarnos más para llegar a: $$M^{-g} \int_M^{2M} \frac{x^{i-1} dx}{\sqrt{x-M}} \approx M^{1/2+i-1-g}$$
Hemos aproximado todas las entradas de la matriz. El mayor coeficiente de la fila superior es de tamaño $M^{-1/2}$ y, por tanto, el mayor producto de una diagonal generalizada es $(M^{-1/2})^g$ ya que las entradas de las otras filas también son de tamaño $M^{-1/2}$ .
La aproximación cruda para el volumen del jacobiano de una curva hiperelíptica dada por un polinomio como el anterior con coeficientes positivos de tamaño $M$ un gran número, es: $$Vol(J(\mathbb{R})) \approx M^{-g/2}$$
