Cómo demostrar que cualquier (entero) $^{1/n}$ que no es un entero, es irracional?

Question

¿Mi prueba es perfecta y completa?

Quería demostrar que para cualquier raíz enésima de un número entero, si no es un número entero, entonces es irracional: $$\begin{cases} m,n\in \mathbb{N}\\\sqrt[n]{m}\notin \mathbb{N} \end{cases}\implies \sqrt[n]{m}\notin \mathbb{Q}.$$

Empiezo asumiendo que $m^{\frac 1n}$ es racional y no entero. Por lo tanto, existen enteros coprimeros $a,b$ para que $$\sqrt[n]{m}=\frac{a}{b}$$ $$\implies m=\frac{a^n}{b^n}\in\mathbb{N}.$$ Pero como $a$ y $b$ no tienen ningún factor común, $a^n$ y $b^n$ tampoco tienen un factor común. Así que: $$\frac{a^n}{b^n}\notin\mathbb{N},$$ una contradicción.

Answer 1

Tu prueba está bien. Puedes usar esencialmente la misma idea para demostrar la siguiente afirmación más general:

Teorema. Si $ P(X) \in \mathbf Z[X] $ es un polinomio mónico, entonces cualquier raíz racional de $ P $ son números enteros. En otras palabras, $ \mathbf Z $ es integralmente cerrado.

Prueba. Supongamos que $ q = a/b $ es una raíz racional con $ a, b $ coprima, y que $ P(X) = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \ldots + c_0 $ . Tenemos $ P(q) = 0 $ , lo que da

$$ a^n + c_{n-1} a^{n-1} b + \ldots + c_0 b^n = 0 $$

En otras palabras, $ a^n $ es divisible por $ b $ . Esto es una contradicción a menos que $ b = \pm 1 $ ya que entonces cualquier primo que divide a $ b $ también divide $ a $ , contradiciendo la coprimalidad. Por lo tanto, $ b = \pm 1 $ y $ q \in \mathbf Z $ .

Answer 2

Es básicamente correcto. Sin embargo, al principio, $\sqrt[n]{m}$ debe tener sentido, es decir, debe estar en $R$ . Por ejemplo, $\sqrt[2]{-2} \notin R$ Entonces su prueba no es adecuada.