es $\sqrt[n]{n!}$ ¿alguna vez un número entero?

Question

¿Existe un $n \in \mathbb{N}$ mayor que $1$ tal que $\sqrt[n]{n!}$ es un número entero?

La expresión parece ser creciente, por lo que me preguntaba si alguna vez es un número entero. ¿Cómo podríamos demostrarlo o cuál es el valor más pequeño en el que es un número entero?

Answer 1

Esto es imposible debido al postulado de Bertrand, ya que siempre habrá un primo $ p $ sur $ n! $ que ocurre con la multiplicidad $ 1 $ siempre y cuando $ n \geq 2 $ . Esto implica en realidad que $ n! $ nunca es un poder perfecto para $ n \geq 2 $ .

Answer 2

Si $\sqrt[n]{n!} = k \in \mathbb{N}$ entonces $n! = k^n$ . Cuando $n\geq 2$ tenemos $2\mid n!$ por lo que también debemos tener $2\mid k$ lo que significa que podemos escribir $k = 2^{m} \ell$ para algunos enteros $m$ y $\ell$ . Esto también significa que

$$n! = 2^{mn}\ell^n \implies 2^{mn} \mid n!$$

por lo que la potencia de dos que divide $n!$ es $mn$ que es mayor o igual que $n$ . Por otro lado la potencia de dos que divide $n!$ puede calcularse como

$$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{8}\right\rfloor + \ldots$$

Esta expresión es menor que $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + \frac{n}{8} +\ldots = n$ lo que nos da una contradicción.

Answer 3

Si $n\gt1$ entonces $\sqrt[n]{n!}$ no es un número entero (por lo que es un número irracional). A prueba utilizando El postulado de Bertrand se ha publicado. La prueba del postulado de Bertrand es algo complicada. Aquí hay una prueba sin usar el postulado de Bertrand.

Para un número primo $p,$ el $p$ -ordenada de un número natural $m,$ denotado por $\nu_p(m),$ es el mayor exponente $\nu$ tal que $p^\nu$ divide $m;$ el número $m$ es un perfecto $k^\text{th}$ poder si y sólo si $\nu_p(m)$ es divisible por $k$ para cada primo $p.$ Podemos demostrar que $n!$ no es un perfecto $n^\text{th}$ potencia (para $n\gt1$ ) demostrando que $\nu_2(n!)$ no es divisible por $n;$ de hecho, $0\lt\nu_2(n!)\lt n.$ El límite inferior es evidente. Para el límite superior, dejemos que $m=\lfloor\log_2(n)\rfloor$ y utilizar La fórmula de Legendre : $$\nu_2(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor=\sum_{k=1}^m\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor\le\sum_{k=1}^m\frac n{2^k}\lt\sum_{k=1}^\infty\frac n{2^k}=n.$$

Un resultado mucho más general (y difícil), el Erdos- Selfridge dice que el producto de dos o más números enteros positivos consecutivos nunca es perfecto $k^\text{th}$ poder para cualquier $k\gt1.$

Answer 4

En esta respuesta se demuestra que el número de factores de $p$ que dividen $n!$ es $$ \frac{n-\sigma_p(n)}{p-1}\tag{1} $$ donde $\sigma_p(n)$ es la suma de la base- $p$ dígitos de $n$ .

Para $n!$ ser un $n^{\text{th}}$ poder, $(1)$ debe ser un múltiplo de $n$ para cualquier primo $p$ .

Para cualquier $n\ge1$ tenemos $\sigma_p(n)\ge1$ para cualquier primo $p$ . Así, $(1)$ es menor que $n$ y como debe ser un múltiplo de $n$ Debe ser $0$ .

Por lo tanto, o bien $n=0$ o el número de factores de cualquier primo $p$ que divide $n!$ debe ser $0$ . Por lo tanto, tenemos $n=0$ o $n=1$ .

Answer 5

Esto es (para $n>2$ ) nunca un número entero, ya que siempre se tiene un único número primo (es decir, con exponente 1) y por lo tanto su $n$ raíz, es decir, el mayor primo menor que $n$ . Dado que el producto de raíces de diferentes números primos nunca es entero, este número nunca será un número entero (para $n>2$ ).