Expresan una raíz de una irreductible polinomios usando las otras raíces

Question

Aquí está mi pregunta. A continuación me dan un poco de contexto y mis pensamientos.

Deje $P \in \Bbb Q[X]$ ser un polinomio irreducible de grado $n$. Denotamos por a $r_1,\dots,r_n$ sus raíces. Hay un subcampo $K \subset K_P := \Bbb Q(r_1,\dots,r_n)$ de manera tal que la extensión de Galois $ K_P/K$ tiene un solucionable grupo de Galois, y tal que $\Bbb Q(r_1) \cap K = \Bbb Q$ ?

---

Motivación:

Si $K_P/K$ tiene un solucionable grupo de Galois, entonces significaría que podríamos encontrar una cadena de subcampos $K \subset K_1 \subset \cdots \subset K_n \subset K_P$ tal que para cualquier $1≤j≤n-1$, $K_{j+1}=K_j(a_j)$ donde $a_j^{m_j} \in K_j$ algunos $m_j ≥ 1$. Desde $\Bbb Q(r_1) \cap K = \Bbb Q$, significa que podemos expresar $r = r_1 \in K_P$ el uso de los radicales y otras raíces (esta condición sobre la intersección asegura que $K$ "no tiene nada en común" con $r_1$, que en realidad no es completamente cierto en algún sentido...).

Contexto:

Yo estaba pensando acerca de las relaciones entre las raíces de polinomios irreducibles (usted puede elegir las raíces de reducible polinomios como usted desea, por ejemplo,$(x-a_1)\cdots(x-a_n)$, de modo que no es interesante). El Viète fórmulas son bien conocidos, pero yo quería expresar una determinada raíz $r=r_1$ el uso de las otras raíces. [Más en general, me preguntaba acerca de las posibles relaciones entre los conjugados de algunos algebraicas número $z_0$.]

No es cierto que $r_1$ es una función polinómica de algunos otros de la raíz. Por ejemplo, $\sqrt{2-\sqrt 5} \neq P(\sqrt{2+\sqrt 5})$ cualquier $P \in \Bbb Q[X]$. De hecho, $\sqrt{2-\sqrt 5}$ tiene el grado $4$ sobre los racionales, mientras que $\Bbb Q(\sqrt{2+\sqrt 5})$ no es Galois (su Galois cierre ha Galois grupo $D_8$). [Probablemente situaciones similares ocurren para $\sqrt{\sqrt 2 + \sqrt 3}$ que no parece ser igual a algunos $P(\sqrt{\sqrt 2 - \sqrt 3})$ donde $\sqrt{\sqrt 2 - \sqrt 3}$ es un conjugado de $\sqrt{\sqrt 2 + \sqrt 3}$ (por cierto, cabe recordar que la $\Bbb Q(\sqrt 2+ \sqrt 3)=\Bbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)=\Bbb Q(\sqrt 2- \sqrt 3)$, o pasar por las raíces de $X^5-X-1$, creo.]

También vemos que el $\zeta_3 \sqrt[3]{2}$ es un conjugado de $\sqrt[3]{2}$ pero no puede ser escrito como $P(\sqrt[3]{2})$$P \in \Bbb Q[X]$. Así que mi idea no era centrarse en los polinomios/funciones racionales de las raíces, sino en los radicales.

Mis pensamientos :

Deje $A$ ser la colección de los subcampos $K \subset K_P$ tal que $\text{Gal}(K_P/K)$ es solucionable, ordenó con $K≤L \iff K \supset L$. Como $K_P/K$ es finita separables extensión de $\Bbb Q$, tiene un número finito de subextensions, por lo que el $A$ es finito y no vacío desde $K_P \in A$). Por lo tanto se trata claramente de un conjunto inductivo. Por el lema de Zorn (!) Puedo obtener un $≤$-máxima subextension $K$, es decir, $\subset$- mínimo. Sólo tengo que demostrar que ha trivial intersección con $\Bbb Q(r_1)$, lo que parece difícil de hacer.

Posiblemente relacionadas con: (1).

Gracias por su ayuda!

Answer 1

El siguiente es demasiado largo para un comentario, pero sentí que añade algo más de claridad a la pregunta, aunque no proporciona una respuesta:

Deje $G = \text{Gal}_{\mathbb{Q}}(K_P)$, vamos a $F = \mathbb{Q}(r_1)$$H = \text{Gal}_F(K_P)$. Entonces, por esta respuesta, la pregunta es equivalente a preguntar

¿Existe una solución subgrupo $L < G$ tal que $\langle LH\rangle = G$.

Lo que sabemos:

1. Considerar la inyectiva homomorphism $$ G\hookrightarrow S_n $$ a través de la (fiel, transitiva) la acción de $G$ sobre las raíces $X:= \{r_1,r_2,\ldots, r_n\}$, entonces se sigue que $$ H = G\cap S_{n-1} $$
2. $[G:H] = [\mathbb{Q}(r_1):\mathbb{Q}] = \deg(P(x)) = n$, ya que el $P$ es separable.
3. Si $G$ es solucionable, no hay nada que probar, por lo que podemos suponer $n\geq 5$.
4. Si $G = S_n$, $L = \langle (12)\rangle$ obras.
5. Si $G = A_n$, entonces (sospecho), $L = \langle (12)(34)\rangle$ obras.
6. Si $n=5$, las únicas posibilidades para $G$ $S_5, A_5$ y 3 solucionable grupos ($\mathbb{Z}_5, D_5$, e $F_{20}$), por lo que el resultado que usted desea es cierto en este caso.
7. Estas notas de Keith Conrad podría ser útil, especialmente Teorema 2.2