Cualquier elemento de $\mathbf{Z}[\xi]$ es congruente a un entero modulo $(1-\xi)^2$ si se multiplica por una potencia adecuada de $\xi$

Question

Actualmente estoy leyendo Kummer famoso artículo sobre el Último Teorema de Fermat (si alguien quiere el enlace, lo voy a publicar, pero el papel está en alemán). Existe la siguiente declaración de allí, el que debe ser "muy fácil de demostrar":

Deje $\xi$ ser una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad con $p$ un extraño prime. Cualquier elemento $x \in \mathbf{Z}[\xi]$ puede ser multiplicada por una potencia de $\xi^r$ que es congruente a un entero mod $(1-\xi)^2$.

He intentado probarlo, pero necesito ayuda. Yo pensaba que uno podría escribir una base $1, (1-\xi)^2, ..., (1-\xi)^{p-1}$, pero esto es incorrecto, como se ha demostrado en una respuesta a una pregunta anterior de la mina.

Gracias!

Añadido Recompensa-pregunta: me fui por el papel de nuevo y vio que echaba de menos la hipótesis de que la $x$ no radica en el ideal de $(1 - \xi)$. En realidad no me ayudan a demostrar que si. Puede alguien encontrar una prueba en virtud de esta condición más fuerte?

Answer 1

Esto es falso, - $ 1 - \xi $ nunca puede ser multiplicado por una potencia de $ \xi $ a ser un número entero modulo $ (1 - \xi)^2 $. Deje $ \mathfrak p = (1 - \xi) $ a lo largo del post.

Para ver esto, observe que $ p \equiv 0 \pmod{\mathfrak p^2} $ desde el ideal de la $ (p) $ totalmente ramifies como $ (p) = \mathfrak p^{p-1} $, por lo que si $ \xi^k (1 - \xi) $ es un número entero modulo $ \mathfrak p^2 $, sin pérdida de generalidad, que se pueden tomar para estar en el conjunto $ \{ 0, 1, \ldots, p-1 \} $. No puede ser $ 0 $, porque eso implicaría $ 1 - \xi \in \mathfrak p^2 $$ \mathfrak p = \mathfrak p^2 $, pero $ 1 - \xi $ no es una unidad: tiene norma $ \pm p $. No puede ser otra cosa en este conjunto, porque $ \mathbf Z \cap \mathfrak p = p\mathbf Z $, por lo tanto todos los distinto de cero enteros en el conjunto invertible modulo $ \mathfrak p $, y por lo tanto el modulo $ \mathfrak p^2 $. Así, tal congruencia implica que la $ 1 - \xi $ es invertible modulo $ \mathfrak p^2 $, lo cual es absurdo, ya que los ideales $ (1 - \xi) = \mathfrak p $ $ \mathfrak p^2 $ no coprime.

Answer 2

Tal vez se dejó caer algunas hipótesis en su declaración, que debe ser: "Cualquier unidad $u$ $\mathbf Z[\zeta]$ puede ser multiplicado, etc." Por Dirichlet de la unidad de teorema (o por cálculo), $u$ es de la forma $\zeta^r .v$ donde $v$ es una unidad en $\mathbf Z[\zeta +\zeta ^{-1}]$ (= el anillo de enteros de la máxima totalmente real subcampo). Pero $(1-\zeta)(1-\zeta ^{-1}) = 2 -(\zeta +\zeta ^{-1})$, e $(1-\zeta)/(1-\zeta ^{-1})$ es una unidad, por lo tanto tomando cocientes de mod $(1-\zeta)(1-\zeta ^{-1})$ muestra que a cada elemento de a $\mathbf Z[\zeta +\zeta ^{-1}]$ es congruente a un número racional mod $(1-\zeta)^2$ QED

Supongo que esta propiedad es un preliminar en la prueba de los llamados Kummer lema, en cuyo caso podría fino, más información en Washington del libro, §5.6.

Answer 3

Respuesta a la recompensa pregunta:

Denotar $ R = \mathbf Z[\xi]/(1 - \xi)^2 $. Hacemos dos observaciones: el mapa de $ \mathbf Z \to R $ ha kernel $ p\mathbf Z $, por lo que desciende a una incrustación $ \mathbf Z/p \mathbf Z \to R $, y dado que un número entero es invertible modulo $ (1 - \xi)^2 $ si y sólo si a no es divisible por $ p $ (esto se muestra en mi otra respuesta), se deduce que este incrustación da una incrustación de grupos de $ H = (\mathbf Z/p \mathbf Z)^{\times} \to R^{\times} $. Por otro lado, $ \xi $ es, sin duda, en $ R^{\times} $, y de su orden se divide $ p $, por lo que es congruente a $ 1 $ o tiene orden de $ p $$ R^{\times} $. El primero es imposible, puesto que implica que $ 1 - \xi $ es divisible por $ (1 - \xi)^2 $, lo $ \xi $ es un elemento de orden $ p $. Entonces, el subgrupo $ K = \{ x \in R^{\times} : x = \xi^i z, z \in \mathbf Z \} $ es el producto de los subgrupos $ H $$ \langle \xi \rangle $, que se cruzan trivial, ya que sus órdenes son coprime. De ello se desprende que $ |K| = |H| |\langle \xi \rangle| = p(p-1) $.

Por otro lado, $ N((1 - \xi)^2) = N(1 - \xi)^2 = p^2 $, lo $ |R| = p^2 $, y el submódulo $ (1 - \xi) / (1 - \xi)^2 $ $ R $ tiene cardinalidad $ p $, que consiste enteramente de no invertible elementos en $ R $. Por lo tanto, $ |R^{\times}| = p^2 - p = p(p-1) $, y a partir de esto se sigue que las $ K = R^{\times} $. La instrucción que sigue a la escritura $ x \equiv \xi^i z \pmod{(1 - \xi)^2} $ $ x \notin (1 - \xi) $ y multiplicando ambos lados por $ \xi^{p-i} $.

Answer 4

Con el adicional de la hipótesis de que la $x$ no se encuentran en el primer ideal $(1- \zeta)$, la pregunta se convierte en mucho más fácil, debido a su ahora "local" de la naturaleza. Para simplificar las notaciones, poner $\pi=1 - \zeta $ a lo largo y considerar el anillo de $A = \mathbf Z_p[\zeta]$ donde $\mathbf Z_p$ indica el $p$-ádico enteros. El grupo $U$ de las unidades (= invertible elementos) de $A$ está dotado de un descendiente de filtración $U > U_1 > ... > U_n > ...$ donde $U_n = 1+ (\pi^{n})$ . El residual de campo $k = A/(\pi)$ es isomorfo a $\mathbf F_p$ porque $p$ es totalmente ramificado, y el residuo mapa de $A \to \mathbf F_p$ inducida por $\zeta \to 1$ da lugar a un isomorfismo $U/U_1 \cong \mathbf F_p^{*}$ (multiplicativo grupo), mientras que para $n\ge 1$ el mapa de $u \to u - 1$ da lugar a $U_n/U_n+1 \cong (\pi^{n})/(\pi^{n+1})\cong \mathbf F_p$ (aditivo grupo) (ver, por ejemplo, Cassels-Fröhlich, cap. 1, propos. 4). Uno se mete en particular una secuencia exacta $0 \to \mathbf F_p \to U/U_2 \to \mathbf F_p^{*} \to 1$, la cual está dividida, porque los dos términos extremos han coprime órdenes. Dada la explícita isomorphisms anteriormente, esto demuestra que $U/U_2 = <\zeta>.\mathbf Z_p$ , por lo tanto para cualquier $u\in U$ , a un determinado $u.\zeta^{r}$ será congruente a $a$ mod $(\pi^{2})$,$a \in\mathbf Z_p$. Volviendo a nuestro $x \in \mathbf Z[\zeta], \notin (\pi)$, y el uso de la densidad de $\mathbf Z$$\mathbf Z_p$, a un determinado $x.\zeta^{r}$ será congruente a $b$ mod $(\pi^{2})$, $b \in\mathbf Z$ como se desee.

El $p$-adics eran desconocidos en Kummer del tiempo, pero la anterior prueba puede ser adaptado para ser (probablemente)más en Kummer del espíritu. Consideremos el anillo de $B = \mathbf Z[\zeta]= \mathbf Z[\pi] $. Cada elemento de a $x \in B$ puede ser el único escrito bajo la forma$x = a_0 + a_1\pi + ... + a_{p - 1}\pi^{p-1}$,$a_n \in \mathbf Z$. De forma análoga a la anterior, la naturaleza exacta de la secuencia de $ 0 \to (\pi)/(\pi^{2}) \to B/(\pi^{2}) \to B/(\pi) \cong \mathbf F_p \to 0$ da lugar a otro de la secuencia exacta $ 0 \to (\pi)/(\pi^{2})\cong \mathbf F_p \to (B/(\pi^{2}))^{*} \to (B/(\pi))^{*} \cong \mathbf F_p^{*} \to 0$ donde $(.)^*$ indica las unidades. La hipótesis de que la $x \notin (\pi)$ significa que $a_0$ no es un múltiplo de a $p$, por lo tanto, por la definición de los residuos mapa, que $x$ mod $(\pi)$ $\in (B/\pi)^{*}$. De forma análoga a la anterior, se puede concluir que un determinado $x.\zeta^{r}$ será congruente a $b$ mod $(\pi^{2})$, $b \in\mathbf Z$ como se desee.

NB: Esta segunda prueba es sólo una formalización de la dada por @lluvia de estrellas.