Analiza si la función es uniformemente continua: $f(x) = \frac{x}{1+x^{2}}$

Question

Analiza si la función es uniformemente continua: $$f(x) = \frac{x}{1+x^{2}}, x\in\mathbb{R}$$

Somos libres de usar cualquier cosa pero me gustaría resolverlo con $\varepsilon$ - $\delta$ . Y también creo que esta es la mejor manera de hacer, también.

He descubierto que la función no es uniformemente continua, pero no estoy seguro del todo (lo digo porque no he encontrado la solución ):

$$\left|\frac{x}{1+x^{2}}-\frac{x_{0}}{1+x_{0}^{2}}\right | = \left|\frac{x(1+x_{0}^{2})-\left(x_{0}(1+x^{2})\right)}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}\right |= \left|\frac{x+x\cdot x_{0}^{2}-x_{0}-x_{0}\cdot x^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}\right|$$

$$= \left| \frac{x-x_{0}+x \cdot x_{0}^{2}-x_{0} \cdot x^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}\right| < \left|\frac{\delta + x \cdot x_{0}^{2}-x_{0} \cdot x^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}\right | < \left|\frac{\delta + x \cdot x_{0}^{2}}{(1+x^{2}) (1+x_{0}^{2})}\right| < \delta +x \cdot x_{0}^{2}$$

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Omg, primero debo decir que fue un dolor escribir todo eso como un principiante de LATEX...

De todos modos, lo que me hace sentir mal es que no puedo ver si es uniformemente continuo o no, de la forma en que lo resolví. Ni siquiera puedo ver si la función es continua del todo (pero si la miro, parece que es continua al menos).

¿He hecho algo correctamente?

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} \left| \frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2} \right|&=\left| \frac{(x-y)(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)} \right|\\\\ &\le |x-y|\,\left(\frac{1+|xy|}{1+|xy|^2}\right) \end{align}$$

En la medida en que $\frac{1+|xy|}{1+|xy|^2}\le \frac{1+\sqrt 2}{2}$ encontramos que

$$\left| \frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2} \right|<\epsilon$$

siempre que $|x-y|<\delta =\frac{2\epsilon}{1+\sqrt 2}$ . Esto demuestra que la función $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ es uniformemente continua.

Answer 2

Cualquier función continua sobre $\mathbb R$ que $\to 0$ en $\pm \infty$ es uniformemente continua en $\mathbb R.$ Idea para la prueba: Dejemos que $\epsilon>0.$ Elija $R>1$ tal que $|f(x)| < \epsilon/2$ para $|x|> R.$ Porque $f$ es uniformemente continua en $[-2R,2R],$ existe $0<\delta < 1$ tal que $x,y\in [-2R,2R], |x-y|<\delta$ implica $|f(x)-f(y)|<\epsilon.$ Supongamos que $y>2R$ y $|x-y|< \delta.$ Porque $R>1$ y $\delta < 1,$ entonces tenemos $x,y \in [R,\infty).$ Así, $|f(x)-f(y)|\le |f(x)| + |f(y)| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon.$ Lo mismo para $y< -2R.$