Prueba de que un número divide uniformemente la diferencia de dos números a la enésima potencia

Question

He intentado demostrar que $9^n - 4^n \equiv 0 \pmod{5}$ .

Al principio empecé por considerar los casos en los que $n$ es par y cuando es impar y luego demostrar que las expresiones resultantes son congruentes con $0 \pmod{5}$ pero creo que la prueba se puede acortar aún más:

$$ 9^n - 4^n \equiv (-1)^n - (-1)^n $$

No importa el valor $n$ toma, $a - a = 0$ para todos $a$ , QED.

¿Es un razonamiento sólido?

Answer 1

Su segunda prueba es, por supuesto, mucho mejor. En realidad, es suficiente con notar que $4=9\, ( \text{mod } 5)$ por lo que sus n-ésimas potencias también deben ser iguales.

Answer 2

Sí, su prueba es válida.

Pero si en general se quiere demostrar $a^n - b^n \equiv 0 \mod (a - b)$ ....

Bueno, $a - b \equiv 0 \mod (a-b)$

$a \equiv b \mod(a-b)$

$a^n \equiv b^n \mod(a-b)$

$a^n - b^n \equiv 0 \mod(a-b)$

Sí, tu prueba es buena... Realmente buena.

En última instancia, uno querrá mostrar $(a -b)\sum_{i=0}^{n-1} a^ib^{n-i-1} = a^n - b^n$ . (es decir, no sólo el divisor, sino también el cociente). Pero mientras tanto tu prueba es hábil.

Answer 3

Puedes demostrarlo por inducción.

---

Primero, demuestre que esto es cierto para $n=1$ :

$9^{1}-4^{1}=5$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

$9^{n}-4^{n}=5k$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$ :

$9^{n+1}-4^{n+1}=$

$9\cdot9^{n}-4\cdot4^{n}=$

$5\cdot9^{n}+4\cdot9^{n}-4\cdot4^{n}=$

$5\cdot9^{n}+4\cdot(\color\red{9^{n}-4^{n}})=$

$5\cdot9^{n}+4\cdot\color\red{5k}=$

$5\cdot(9^{n}+4k)$

---

Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 4

Esto es una consecuencia de la identidad $$ a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-1}+b^{n-2}) $$

También se deduce del teorema del binomio. Tomemos $d=a-b$ . Entonces $d$ divide $a^n-b^n$ porque $$ a^n = (d+b)^n = du+b^n $$ para algún número entero $u$ .

La identidad anterior da $u$ explícitamente, pero esto no es necesario para demostrar que $d$ divide $a^n-b^n$ .