Me encontré con lo que parece ser una muy difícil "resolver para $x$" tipo de problema, principalmente porque no debe ser $6$ bienes raíces de este problema: $$(x^2 - 3x - 4)(x^2 - 5x + 6)(x^2 + 2x) + 30 = 0.$$ Mi primer paso fue (aburrido) ampliar esta en el grado $6$ polinomio que es: $$x^6-6 x^5+x^4+36 x^3-20 x^2-48 x+30 = 0.$$ Me imagino que el primer paso sería simplificar en un conjunto de las raíces pequeñas, es decir, $$(ax + b)(cx^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h) = 0,$$ y, a continuación, realizar una similar de la factorización del polinomio de grado $5$. Sin embargo, después de intentar difícil encontrar los términos constantes para esta factorización, Nunca me acababa de conseguir la correcta factorización. Las recomendaciones sobre problemas como estos? Realmente me gustaría resolver esto sin el uso de Wolfram.
Respuestas
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Deje $P(x)$ el valor del lado izquierdo. Tenga en cuenta que el primer sumando los factores de bien: $$ P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)x(x+1)(x+2)+30. $$ De esto resulta claro que el $P(x)$ es simétrica alrededor de $x=1$. Explícitamente, la configuración de $y=x-1$ hemos $$\begin{eqnarray*} P(x)&=&(y-1)(y-2)(y-3)(y+1)(y+2)(y+3)+30\\ &=&(y^2-1)(y^2-4)(y^2-9)+30. \end{eqnarray*}$$ Tenga en cuenta que este es un cúbicos en $y^2$, por lo que es posible resolver para $y^2$ utilizando la fórmula para que las raíces de un cúbicos, y por lo tanto, encontrar las raíces de $P$ en términos de los radicales.
Su $6$'th grado del polinomio no tiene raíces racionales (que se puede mostrar el uso de las Raíces Racionales Teorema). Resulta que tiene un factor cuadrático $x^2-2x-5$. Que factores completamente en los factores de la forma $x - (a + b \sqrt{6} + c \sqrt{10})$ con $a$, $b$, $c$ racional, pero no veo cómo podría adivinar que "a mano".
