Una medida completa el espacio es uno en el que cualquier subconjunto de una medida de cero conjunto es medible.
Por qué motivo querría una medida completa el espacio? La única razón por la que puedo pensar es en el contexto de la teoría de la probabilidad: el uso de completar la probabilidad de espacios fuerzas casi igual en todas partes variables aleatorias para generar la misma sigma-sub-álgebra.
Me estoy perdiendo algunas otras importantes razones técnicas?
Desde la existencia de la no-medibles conjuntos es a menudo visto como indeseables, naturalmente queremos tener la mayor cantidad de conjuntos medibles como sea posible. Con la medida de Lebesgue en los reales, por ejemplo, si fuéramos a parar con la colección de conjuntos de Borel, solo tendríamos continuo c muchos conjuntos medibles. Pero a la hora de completar la medida, ganamos 2c muchos más conjuntos medibles, incomparablemente más. El recién medibles conjuntos no son sólo conjuntos de medida cero, por supuesto, pero todos los conjuntos que a diferencia de los anteriormente cuantificables establecidos por (un subconjunto de) un conjunto de medida cero.
Pero no es sólo sobre el número de conjuntos medibles. Más bien, completando la medida que nos permitió incrementar (o maximizar en un sentido) de nuestra colección de conjuntos medibles de una manera que parece concordar totalmente con la forma en que queríamos medir conjuntos en el primer lugar. Es una parte básica de lo que estábamos tratando de hacer con la medida a ser capaz de decir que algo que es menos que insignificante es insignificante.
A la luz de los comentarios de aquí, voy a mostrar por qué la integridad puede ser un dolor. En el ejercicio 9 de la sección 2.1 de Folland, desarrolla una función $g: [0,1] \[0,2]$ $g(x) = f(x) + x$ donde $f : [0,1] \[0,1]$ es el Cantor de la función. En ese ejercicio se establece que $g$ es un (monótona creciente) bijection, y que su inversa $h = g^{-1}$ es continua a partir de $[0,2]$ $[0,1]$.
Desde $h$ es continua, es Borel medible. Por otro lado, $h,$ no $(\mathcal{L}, \mathcal{L})$-medible!! En particular, vamos a $C$ a ser el conjunto de Cantor; $m(g(C)) = 1$, pero esto significa que hay un subconjunto $A \subseteq g(C)$, que no es Lebesgue medible. Por otro lado $B := g^{-1}(A) \subseteq C$ mientras $m(C) = 0$; por tanto, este preimagen $B$ es Lebesgue medible (con medida cero). Pero por lo tanto $h^{-1}(B) = A$ no es Lebesgue medible, lo que significa $h$ no $(\mathcal{L}, \mathcal{L})$-medible.
Por un lado, esta función es artificial. Por otro lado, muestra que completar las medidas pueden desordenar las cosas. La típica definición de "función medible" es un Borel medibles función, y supongo que a razones como la anterior condujo a la presente convención. Yo no conozco el material del Puente de las referencias anteriores, por lo que no puede decir lo que se rompe cuando la integridad se ha caído. Aunque parece conveniente matemáticamente para lanzar en la integridad, no conozco ejemplos básicos de la teoría de la probabilidad en donde ayuda. Por ejemplo, Fubini-Tonelli puede ser formulado bien sin integridad. Su declaración del teorema sólo se necesita mencionar la integridad si sus medidas de pasar a ser completo!
EDIT he corregido el disparate en el segundo párrafo; también quería hablar sobre $(\mathcal L, \mathcal L)$medible de funciones, que se me ha referido como Lebesgue medibles (que significa $(\mathcal L, \mathcal B)$-medible). Mi punto es que si usted toma la terminación en $\sigma$-álgebra de la gama del espacio, los juegos extra añadido podría mapa para básicamente cualquier cosa. Es decir, que es algo sin sentido para agregar en todo tipo de null conjuntos, pero no todo tipo de medida finita de conjuntos. A veces la finalización deja algo que desear, pero a veces no, como he mostrado aquí, la función de un mejor comportamiento respecto de la no-completado medida.
Wikipedia da un ejemplo de una situación en la que se completan las medidas necesarias, con el fin de definir medidas de producto de espacios.
Te sugiero que veas en Rudin "Real y el Análisis Complejo". Allí se hace un argumento que la conclusión de un ordinario medir el espacio en una medida completa el espacio es tan fundamental para el análisis real, como la terminación de los racionales a los reales.
Muchos de los teoremas de teoría de la medida, por ejemplo Fubini o Radon-Nikodym, las necesidades de la integridad plena de sentido. Fubini se explica en el ejemplo de la wikipedia. Para hacer el otro aspecto claro -- unas declaraciones bastante en la teoría de la medida utiliza la noción de "casi en todas partes", por ejemplo, la definición de $L^p$ espacios, o de Radon-Nikodym.
Pero esta noción de "casi en todas partes"(más bien, "casi nada") se hace mejor si la medida que el espacio es completo. Sería realmente extraño si se declara que una propiedad se cumple casi en ninguna parte, porque tiene sólo en algunas conjunto con medida cero, y para arreglar las cosas que alguna otra propiedad se sostiene en un conjunto más pequeño, y entonces ya no son capaces de hacer la afirmación! El producto de medir el ejemplo anterior es una ilustración en la que la propiedad es simplemente ser "medibles", y las consecuencias son particularmente notables.
Añadido(Jan 16): Hay problemas en las aplicaciones en Ergodic theory, por ejemplo. Esta definición de ergodic transformación y un ergodic la teoría de la construcción se ejecutará en todo tipo de problemas si la medida subyacente espacio no es completa. Esto es de nuevo porque usted necesita una correcta noción de "casi en todas partes" y "casi nada".
Desde el punto de vista categórico no hay ninguna diferencia, porque la categoría de espacios medibles es equivalente a la categoría de completar espacios medibles con la equivalencia dada por la finalización functor. Por otra parte, estamos obligados a identificar los objetos que son diferentes sólo en un conjunto de medida de 0 o un subconjunto de un conjunto de (de lo contrario algunos teoremas simplemente no tiene ningún sentido), por lo tanto no podemos ni siquiera ver la diferencia. Sin embargo, trabajando con total medibles espacios es técnicamente más fácil. Más precisamente, los objetos de la categoría de espacios medibles son triples (X,a,N), donde X es un conjunto, es una sigma-álgebra de subconjuntos medibles de X, N es un σ-ideal de null establece en A. Una de morfismos de (X,a,N) a (Y,B,O) es una clase de equivalencia de mapas de conjuntos f: X→Y tal que la preimagen de cada elemento de B es un sindicato de un elemento de a y un subconjunto de un elemento de N y la preimagen de cada elemento de S es un subconjunto de un elemento de N. Dos mapas son equivalentes si difieren en un subconjunto de un elemento de N. Si restringimos nuestra atención a completar espacios medibles, entonces la definición de morfismos es significativamente más sencillo: tenemos que exigir que la preimagen de cada elemento de B es un elemento de la Una y de la misma manera para O y N y dos mapas son equivalentes si difieren en un elemento de N.
Esta definición es demasiado general como para ser útiles para la teoría de la medida. Una vez que restringir nosotros mismos a la subcategoría de localizables medibles espacios (todos los principales teoremas de medir el teorema de como representación de Riesz y teorema de Radon-Nikodym teorema implica la propiedad de las posibilidades de localización) la resultante de la categoría se convierte en contravariantly equivalente a la categoría de la propiedad conmutativa de von Neumann álgebras, también conocido como W*-álgebras. En mi opinión esta es la mejor definición posible para la categoría principal de la teoría de la medida, tanto en términos de conceptualización y eficacia, así como la mejor manera de definir la categoría de afín planes para hacerlo igual a la opuesta de la categoría de la categoría de anillos conmutativos. Tal punto de vista es, por desgracia muy poco probable que se adopten por los analistas (especialmente duro analistas), teniendo en cuenta su falta de voluntad para estudiar, incluso las más elementales las nociones de categoría de teoría.
Hola Tom E,
Para los Procesos Estocásticos, la finalización de la primera sigma-campo de la filtración natural del proceso con el negligeable conjuntos de la Probabilidad de medir el límite de sigma-campo de la filtración (junto con el derecho a la continuidad de la base de filtración) es realmente uselfull.
Permite encontrar la versión de procesos que se càdlàg (a la derecha continua con la izquierda del límite) bajo condiciones generales. Càdlàg procesos son el principal objeto de estudio de Procesos Estocásticos análisis (sólo mi punto de vista).
Como cuestión de hecho, esto es tan útil, que estas dos condiciones son llamadas "condiciones normales" por la probabilidad de espacio y de filtración en el que el proceso de la vida (el 3-tupla $(\Omega, (\mathcal{F}_t),P)$ es llamado un punto de vista estocástico).
Si está interesado, usted puede tener una mirada en Karatzas y Shreve el libro sobre el movimiento Browniano y el Cálculo Estocástico, pero incluso si me doy cuenta de que el asunto podría estar muy lejos de tu día a día matemática actividades este es sin duda un ejemplo que muestra cómo útil de la finalización de sigma campo podría ser.
Saludos
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