La aproximación de $\pi$ el uso de la función seno

Question

Si tenemos alguna aproximación a$x$$\pi$, es posible mejorar la aproximación mediante el cálculo de $\sin(x) + x$ si $x$ es lo suficientemente cerca de a $\pi$. La razón por la que esto funciona es que para $x \approx \pi$, $\sin(x) \approx \pi - x$ (tenga en cuenta que $\sin'(\pi) = -1$), por lo $x + \sin(x) \approx x + \pi - x = \pi$.

Estoy interesado en el número de dígitos cuando la aproximación $\pi$ por iterativamente la aplicación de esta técnica de forma iterativa, comenzando con el número de $3$. En otras palabras, estoy interesado en las siguientes secuencias:

$$ a_0=3; a_{n+1}=\sin(a_n)+a_n\\ b_n=\text{El número de dígitos de precisión de }a_n $$

Los primeros elementos de la $b$$\{0, 3, 10, 32, 99, 300, 902, 2702\}$. No he encontrado esa secuencia en OEIS. Curiosamente, el número correcto de dígitos parece casi el triple con cada paso.

¿Por qué este método de aproximación de $\pi$ triplicar el número de dígitos exactos? Si esta aproximación o secuencia que ha sido estudiado antes, los punteros son bienvenidos también.

Answer 1

La Serie de Taylor para $\sin(x)$ $x$ cerca de $\pi$ dice $$ \sin(x)=\sin(\pi-x)=(\pi-x)-\frac{(\pi-x)^3}6+O\!\a la izquierda((\pi-x)^5\right) $$ Así $$ x+\sin(x)-\pi=\frac{(x-\pi)^3}6+O\!\a la izquierda((\pi-x)^5\right) $$ Es decir, $$ x_{n+1}-\pi\sim\frac{(x_n-\pi)^3}6 $$ lo que significa que el número correcto de dígitos más de triples, con cada iteración ($d_n=3d_{n-1}+0.778$).

Answer 2

La expansión de Taylor en $x=\pi$ es $$\sin(x)= \pi-x + \frac{1}{6}(x-\pi)^3- O((x-\pi)^4)$$ $$\sin(x) +x = \pi + \frac{1}{6}(x-\pi)^3- O((x-\pi)^4)$$ Por lo tanto $$a_{n+1}-\pi = \sin(a_n)+a_n-\pi = \frac{1}{6}(a_n-\pi)^3- O((a_n-\pi)^4)$$

Esto significa que la correcta dígitos triple con cada paso, después de convergencia que ha establecido.

Answer 3

Denotar $c_n = a_n - \pi$, luego le preguntan cómo rápidamente la secuencia se aproxima a cero. Ahora tenemos

$$\begin{align}c_{n+1} &= \sin(\pi + c_n) + c_n\\ &= c_n - \sin(c_n)\\ &= \frac{c_n^3}{6} +o(c_n^3)\end{align}$$

Por lo que la expansión decimal de $c_{n+1}$ debe tener aproximadamente tres veces más ceros de $c_n$, lo que explica la triplicación de dígitos exactos.

Answer 4

Tenga en cuenta que $$|a_{n+1}-\pi|=|a_{n}+\sin(a_n)-\pi|leq =|(a_{n}-\pi)-\sin(a_n-\pi)|\leq C\cdot\frac{|a_{n}-\pi|^3}{6}$$ debido a $\sin(t)=t-\frac{t^3}{6}+O(t^5)$$t\to 0$. De modo que el orden de convergencia es$3$, por Lo que la expansión decimal de $a_{n+1}$ debe tener alrededor de tres veces más ceros de $a_n$.

Answer 5

Su método es una mejora sobre el método de Newton, que sería mirar la secuencia de $u_n$ definido por $u_0=3$ y $$u_{n+1}=u_n-\dfrac{\sin(u_n)}{\sin'(u_n)}$$ Estás utilizando algún apriori conocimiento acerca de la raíz, por lo tanto conseguir una más rápida convergencia. El método de Newton es conocido por doblar el número de dígitos exactos en cada iteración.