¿Cómo puedo visualizar las ecuaciones diferenciales?

Question

OK, tengo un examen en una semana, y hay un punto que yo realmente no tengo en mi cabeza todavía. Nuestro profesor le gusta que le den, por ejemplo, tres fotos y una ecuación diferencial.

Ahora la pregunta es cual de estas fotos se aproxima a la ecuación dada.

Cómo voy a ir yo y comenzar una tarea? Estos son muy sencillos de ecuaciones y la mayoría probablemente encontrar este trivial, pero como alguien en el segundo semestre, yo siempre quedas atascado en este tipo de preguntas.

Ejemplos de ello serían:

$$ y^\prime = y + 1 $$

$$ y^\prime = -2xy^2 $$

Ejemplo:

Answer 1

Para $y^{\prime} =y+1$, la pendiente de una solución debe ser negativo en cualquier punto donde $y<-1$ y positivo en caso contrario. Así que en las fotos, de esta forma se elimina la línea recta y la parábola.

Para $y^{\prime} = -2xy^2$, tenga en cuenta que $y^2$ es no negativo, por lo $-2xy^2$ es negativo en si $x>0$ y positivo si $x<0$. Sólo una de las imágenes muestra una solución que está aumentando para $x<0$ y la disminución de $x>0$.

Para estos tipos de problemas, probablemente no existe una única técnica, pero en general, pensar acerca de lo que la pendiente de la solución está en cada uno de los cuadrantes. Si $y^{\prime} = f(x,y)$, podría ser útil para dibujar la curva de $f(x,y) =0$ y, a continuación, pensar acerca de lo que sucede en cada lado de la curva. Podría ayudar a eliminar una imagen o dos.

Answer 2

Un campo pendiente de la ecuación diferencial $$ \frac{dy}{dx} = F(x, y) \etiqueta{1} $$ es un diagrama de tener segmentos de línea de pendiente $F(x, y)$ colocado en $(x, y)$, generalmente por puntos acostado en una cuadrícula rectangular. Geométricamente, una solución de (1) es un gráfico de $y = f(x)$ "tangente al campo", es decir, la satisfacción de $$ f'(x) = F\bigl(x, f(x)\bigr). $$

Con un poco de práctica, una función de $F(x, y)$ y una parcela de un campo pendiente puede ser emparejado con bastante facilidad; sólo coinciden con los valores de $F$ (es decir, los puntos de $F = 0$) con segmentos de tener que cuesta.