Demostrar o refutar: $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k\sqrt{k}}$ es convergente

Question

Demostrar o refutar: La siguiente serie es convergente

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k\sqrt{k}}$$

$$\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k\sqrt{k}}= \frac{\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\cdot \left(\sqrt{k+1} + \sqrt{k}\right)}{k\sqrt{k} \cdot \left(\sqrt{k+1} + \sqrt{k}\right)}= \frac{k+1-k}{k\sqrt{k} \cdot \left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}$$

$$=\frac{1}{k\sqrt{k} \cdot \left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}=\frac{1}{\left(k\sqrt{k}\right)\cdot \left(\sqrt{k+1}\right)+k\sqrt{k}\cdot\sqrt{k}}= \frac{1}{k\sqrt{k}\cdot \left(\sqrt{k+1}\right)+k^{2}}< \frac{1}{k^{2}}$$

$$\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$$

Esta es una serie convergente y por lo tanto la original de la serie es convergente así.

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• Hice todo lo correcty (estoy especialmente no está seguro acerca el último paso donde solía "<")?
• Hay otra forma de corrección de la convergencia de aquí sin mucho trabajo? He tratado de prueba de razón también, pero se puso tan complicado y no pude resolverlo

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k\sqrt{k}}< \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\sqrt{k}}$$ $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}=\zeta (\frac{3}{2})$$