¿Por qué es necesario el axioma de elección para demostrar que la unión contable de conjuntos contables es contable?

Question

Sé que esta pregunta se ha hecho muchas veces aquí, algunas de ellas son duplicadas entre sí. He leído cada uno de ellos, pero mi problema no se ha resuelto. Puedo simplemente memorizar que Axioma de Elección (AC) es necesario, pero quiero tener claro esto, lógicamente.

Nota : "Contable" aquí significa infinitamente contable.

Recordemos la prueba, es así:

En primer lugar, tengo contablemente muchos de los conjuntos contables. Permítanme enumerarlos a $\langle A_i\rangle_{i\in\mathbb{N}}$ . Para cada $i$ , $A_i$ es contable. Dado que $A_i$ es contable para cada $i$ existe una biyección $h_i:\mathbb{N}\rightarrow A_i$ para cada $i$ . Aquí es donde entra en juego el axioma de elección (AC). Hay un número contable de $A_i$ así que tengo que elegir "contablemente muchas" veces. Entonces tengo $h_i:\mathbb{N}\rightarrow A_i$ para cada $i$ Quiero.

Pero, ¿por qué se necesita aire acondicionado?

Lo que entiendo de AC es que, si tengo una colección de conjuntos no vacíos y quiero construir un nuevo conjunto eligiendo un elemento de cada conjunto de la colección, AC me permite elegirlos para "construir" mi nuevo conjunto. Esto se indica explícitamente en su fórmula lógica. Por ejemplo, si tengo una colección $\mathcal{A}=\lbrace A_i\rbrace_{i\in\mathbb{N}}$ donde $A_i$ no es vacío para cada $i$ y quiero construir un nuevo conjunto $\lbrace a_i\rbrace_{i\in\mathbb{N}}$ tal que $a_i\in A_i$ para cada $i$ entonces necesito que AC garantice que se puede hacer tal conjunto. Sin embargo, si mi colección $\mathcal{A}=\lbrace A_i\rbrace_{i=0}^n$ es finito, entonces puedo construir el nuevo conjunto sin AC, es decir, se puede demostrar que tal $\lbrace a_i\rbrace$ puede construirse sin necesidad de corriente alterna.

Pero lo que no entiendo es, ¿por qué ni siquiera se me permite simplemente elegir un elemento y manipularlos? Volviendo al mismo ejemplo, si tengo una colección $\mathcal{A}=\lbrace A_i\rbrace_{i\in\mathbb{N}}$ donde $A_i$ no es vacío para cada $i$ entonces sé que existe $a_i\in A_i$ para cada $i$ . ¿Se me permite manipular $a_i$ para cada $i$ ?, como construir $\lbrace a_i\rbrace$ por el axioma del par? ¿Puedo construir un conjunto $A_i’:=A_i-\lbrace a_i\rbrace$ para cada $i$ ? Cada $a_i$ existe lógicamente, y quiero poner corchetes alrededor de ellos así $\lbrace a_i\rbrace$ . Esto lo permite el axioma del par. Por supuesto, no puedo hacer $\lbrace a_i\rbrace_{i\in\mathbb{N}}$ ya que esto no está implicado por ningún axioma (ni siquiera por el Axioma de Unión o Axioma de Infinito) excepto AC.

La mayoría de las respuestas que he encontrado aquí es que ni siquiera puedo "elegir" un elemento de cada conjunto infinitas veces sin AC (por no hablar de construir un nuevo conjunto a partir de ellos). Algunas personas incluso dijeron que cada $A_i$ en la prueba sea contable no significa que se dé su enumeración. Bien, en ese caso, ¿no puedo decir simplemente que como no tiene enumeración, entonces no es contable y por lo tanto es una contradicción con la suposición? Una enumeración debe existir. Algunos dirán que existe pero que no está dada. Entonces, ¿qué significa "dada" en lógica? Incluso en la prueba que utiliza AC, afirmamos que existe una función de elección, pero no decimos claramente "qué" función de elección. Sólo sabemos que existe y la utilizamos para terminar la prueba. ¿Por qué esta situación es diferente de saber que cada biyección $h_i$ existe para cada $i$ . ¿Por qué se nos permite manipular la función de elección existente, pero no se nos permite manipular la biyección existente? ¿Está esto relacionado con el hecho de que está formulado en lógica de primer orden?

Gracias.

Answer 1

Se utiliza una forma débil de AC, ya que mientras cada conjunto contable $A_i$ tiene una biyección $f_i\colon A_i\rightarrow \mathbb{N}$ esta biyección no es única y se requiere que AC elija la secuencia $\langle f_i:i\in\mathbb{N}\rangle$ .

Answer 2

Fijación de $\alpha: \mathbb N \to \mathbb N \times \mathbb N$ una biyección, la función que (presumiblemente) se quiere construir es $$ n \mapsto h_{\alpha(n)_1}(\alpha(n)_2). $$ Para que la biyección que quieres hacer/que tenga esta definición tenga sentido, necesitas la función $i \mapsto h_i$ ya que forma parte de la composición. Esto es lo mismo que la secuencia $\langle h_i\rangle_{i \in \mathbb N}$ .

Si le parece obvio que esta función debe estar disponible, está bien, porque utilizamos AC como axioma en la mayoría de las matemáticas cotidianas.

Algunos dirán que existe pero no se da. Entonces, ¿qué significa "dado" en lógica?

Normalmente, dado significa que hay una función que lo da. En este caso, sería una función $i \mapsto h_i$ .

Answer 3

No estoy seguro de si esto constituye una respuesta completa, pero espero poder aclarar algunas de sus confusiones. Puede que no sea técnicamente correcta en algunos puntos (corrígeme si es así), pero así es como yo veo la situación intuitivamente. Yo también espero ver una explicación mejor.

Cada uno de los conjuntos $A_i$ son contables, por lo que existe una biyección $H_i\colon\mathbb N\to A_i$ . Pero hay muchas biyecciones de este tipo, infinitas de hecho, y no existe una "biyección preferida". Lo que quiero decir con falta de biyección preferida es que, sin ninguna estructura adicional, no se puede "elegir" o "escribir" la función $h_i$ . Esto es lo que significa que la biyección exista pero no esté dada.

Suponga que puede demostrar que la unión $A=\bigcup_{i\in\mathbb N}A_i$ es contable. Eso significa que existe una biyección $h\colon\mathbb N\to A$ . De nuevo, sólo existe en lugar de estar dada, pero sólo tienes que elegir una biyección una vez. A partir de esta bijección puedes construir funciones $f_i\colon h^{-1}(A_i)\to A_i$ y es fácil comprobar que son biyecciones.

Cada juego $h^{-1}(A_i)$ puede ser naturalmente biyectado con $\mathbb N$ . Basta con identificar el elemento más pequeño con $0$ el segundo más pequeño con $1$ etc. Esta biyección está "dada", ya que se puede dar explícitamente para todo $i$ al mismo tiempo. Componiendo con estas biyecciones, se producen biyecciones $g_i\colon\mathbb N\to A_i$ .

Por lo tanto, a partir de la única enumeración de $A$ se produce simultáneamente una enumeración para cada $A_i$ . Pero esto equivale a hacer infinitas elecciones simultáneamente, eligiendo biyecciones $\mathbb N\to A_i$ para todos $i$ de una sola vez. Esto no debería ser posible si no se dispone de ninguna forma de CA. Es decir, la contabilidad de $A$ demuestra más de lo que debería ser posible sin AC. Por lo tanto, no es demostrable sin AC.

Nota al margen: Las biyecciones $\mathbb N\to h^{-1}(A_i)\subset\mathbb N$ producidas anteriormente también dan lugar a una biyección $\mathbb N\to\mathbb N^2$ . Si puedes argumentar que esto es imposible sin elección (como es el caso), habrás demostrado que $A$ no es contable sin elección.