¿Por qué no todos lineal subespacio de un infinito dimensional espacio vectorial cerrado?

Question

Puede alguien por favor señalar el error en el siguiente razonamiento. Sé que hay un no-cerrada subespacios de infinitas dimensiones espacios Vectoriales

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión infinita y $U \subset V$ un subconjunto. $U$ tiene una base $\{\hat{u}_\alpha\}_{\alpha \in A}$ y podemos ampliar esta base con vectores adicionales $\{\hat{w}_\beta\}_{\beta \in B}$, de modo que $\{\hat{u}_\alpha\} \cup \{\hat{w}_\beta\}$ es una base de $V$. Digamos que todos estos vectores de la base tienen norma 1.
Ahora quiero demostrar que la $\partial U = U$:
Deje $u$ ser un vector en $U$ $\beta \in B$ arbitrarias. Ahora para cualquier $\varepsilon > 0$ el punto de $u + \frac{\varepsilon}{2} \hat{w}_\beta$ se encuentra fuera de $U$, lo $u \in \partial U$.
Deje $v \in V$ ser un vector fuera de $U$. Por lo tanto, no existe un $\beta \in B$ e una $a \in \mathbb{R}$, de modo que $a \,\hat{w}_\beta$ aparece en la combinación lineal que genera $v$. Ahora, para cada $\varepsilon < |a|$ la bola abierta de radio $\varepsilon$ $v$ no se cruzan con $U$. Como consecuencia de ello $v \not\in \partial U$.
Desde la frontera de un conjunto siempre es cerrado, $U$ tiene que ser cerrado.

Answer 1

Tu error está aquí: "Ahora, para cada $\epsilon <|a|$..." Sólo porque un vector tiene una pequeña norma (en este caso $\epsilon $) de los coeficientes en una base no necesitan ser pequeños. En otras palabras, la lineal mapa enviar a un vector a uno o más de los coeficientes no es necesariamente continua.

Usted consigue un poco de intuición para esto mirando dos vectores en $ R^2$ que son casi idénticos, pero independiente. Entonces su diferencia tiene un pequeño norma aún relativamente grande coeficientes w.r.t. la base de los dos vectores. En infinitas dimensiones puede suceder que los sucesivos vectores de la base de conseguir más y más "casi dependiente", dando lugar a los vectores que tienen mayores coeficientes, mientras que tener una norma acotada por una constante $\epsilon $.

Para elaborar más sobre la relación de su pregunta a la continuidad lineal de mapas, considere el mapa $L\colon V\to W$, $v=(u,w)\mapsto Lv:=w$, donde $V=U\oplus W$ es una suma directa de la descomposición de la $V$. Si $L$ eran continuos, a continuación, $U=\ker L$ hecho sería cerrado. Por el contrario, cuando se $U$ no está cerrado, a continuación, $L$ no es continua, que complementa el primer párrafo.

Answer 2

Bananach del argumento llega al punto. Quiero añadir un poco acerca de un método para identificar el error. Es decir, le recomendamos que pruebe este tipo de argumentos en contra de un caso en el que "sabe" que un subespacio no está cerrado. Pruébalo con tu favorito! A continuación voy a pie a través de el primer ejemplo que vino a mi mente. Usted verá que terminan exactamente en una especie de situación de Bananach se describe.

Consideremos el espacio de $\ell^2$ de la plaza de summable real secuencias (con la $L^2$-norma). Tiene como un subespacio del conjunto de $V$ de las secuencias que eventualmente se convierten en constante cero. Este subespacio es atravesado por las secuencias $e_i, i=1,2,\ldots$, definido por la que se declara que el $i$th término de la secuencia $e_i$ es igual a uno, pero el resto son todos cero. Usted ver que $||e_i||=1$. Veamos a continuación elija su favorito de la secuencia de $\ell^2\setminus V$. Por ejemplo podemos utilizar la secuencia de $x=(x_n)_{n>0}$ donde $x_n=2^{-n/2}$. Por lo $x_n^2=2^{-n}$ y, por tanto, por la fórmula de la suma de una serie geométrica $||x||=1$. Podemos también incluir $x$ el (Hamel) base de $\ell^2$ además de todas las secuencias de $e_1,e_2,\ldots$.

Ya se puede ver donde nos dirigimos. Fijar un (gran) integer $k$. La combinación lineal $$ x^{(k)}:=x-\frac1{\sqrt2}e_1-\frac1{\sqrt4}e_2-\cdots-\frac1{\sqrt{2^k}}e_k $$ se parece a la secuencia de $x$ aparte de que el primer $k$ entradas se ponen a cero. Por lo tanto,$||x^{(k)}||^2=2^{-k}$, por lo que al $k\to\infty$ vemos que los vectores $x^{(k)}$ llegan a ser tan corto como deseamos. También vemos que el $x-x^{(k)}$ está en el subespacio $V$. Por lo $x$ es en el cierre de la $\overline{V}$.

Pero observe que en sus respectivos espacio vectorial de las representaciones de todos los vectores $x^{(k)}$ compartir la coordenada $1$ de la base del elemento $x$ - a pesar de que se vuelven arbitrariamente corto w.r.t. a nuestra norma. Ahora a leer Bananach la respuesta!

Yo podría resumir como:

• De infinitas dimensiones, los espacios son un poco complicado, y
• Hamel bases y coordenadas de w.r.t. ellos no son muy útiles para topológico de razonamiento.

La última está en agudo contraste con el finito dimensionales caso (donde su intuición, comprensiblemente, viene de que en este punto de sus estudios).

Hay una razón por qué las personas prefieren escribir los elementos del ejemplo de espacio de $\ell^2$ como la convergencia de la serie utilizando la "base" elementos $e_i$ que se opone a base de Hamel (no es que yo podría exhibir una base de Hamel $\ell^2$ en el primer lugar - que sólo existen en virtud del Axioma de Elección).