Hacer la serie de Taylor de $\sin x$ $\cos x$ dependen de la identidad de $\sin^2 x + \cos^2 x =1$?

Question

Tuve esta idea loca tratando de probar la de Pitágoras identidad trigonométrica;$$\sin^2x+\cos^2x=1$$by squaring the infinite Taylor series of $\el pecado x$ and $\cos x$. Pero le salió muy hermosa, la participación de la combinatoria de las identidades.

La prueba:

$$\sin x=\frac{x}{1}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\\\sin^2x=x^2-x^4\left (\frac{1}{1!3!}+\frac{1}{3!1!}\right )+x^6\left (\frac{1}{1!5!}+\frac{1}{3!3!}+\frac{1}{5!1!}\right )-...\\\\\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\\\\cos^2x\!=\!1\!-\!x^2\left(\!\frac{1}{0!2!}\!+\!\frac{1}{2!0!}\!\right)\!+\!x^4\left(\!\frac{1}{0!4!}\!+\!\frac{1}{2!2!}\!+\!\frac{1}{4!0!}\!\right)\!-\!x^6\left(\!\frac{1}{0!6!}\!+\!\frac{1}{2!4!}\!+\!\frac{1}{4!2!}\!+\!\frac{1}{6!0!}\!\right)\!+...$$We should have shown that the series for both $\el pecado x$ and $\cos x$ converge absolutely (since we changed the arrangement), but it's obvious since the absolute value of all terms of $\sin x+\cos x$ add up to $e^x$.$$\sin^2x+\cos^2x=\\=1-x^2\left(\frac{1}{0!2!}-\frac{1}{1!1!}+\frac{1}{2!0!}\right)+x^4\left(\frac{1}{0!4!}-\frac{1}{1!3!}+\frac{1}{2!2!}-\frac{1}{3!1!}+\frac{1}{4!0!}\right)-x^6\left(\frac{1}{0!6!}-\frac{1}{1!5!}+\frac{1}{2!4!}-\frac{1}{3!3!}+\frac{1}{4!2!}-\frac{1}{5!1!}+\frac{1}{6!0!}\right)+...=\\\\=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nx^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^k\binom{2n}{k}}{(2n)!}$$ Ya podemos shw fácilmente que $\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}=0$ por la expansión de $(1-1)^n$ usando Binom de la fórmula. Así:$$\sin^2x+\cos^2x=1-0+0-0+...=1$$

Creo que es hermoso, yo sólo quería preguntar, ¿ Taylor en la serie de esas funciones dependen de esta identidad? Porque si lo hacen, la prueba será circular.

Answer 1

Prueba interesante! Para abordar la pregunta,

Hacer de la serie de Taylor de las funciones dependen de esta identidad? Porque si lo hacen, la prueba será circular.

Usted tiene razón en estar preocupado acerca de la circularidad! Sin embargo, que los conceptos o teoremas dependen, en la que los demás es una cuestión de cierta flexibilidad. A menudo, tomamos una cosa para ser la definición de un concepto, y luego tiene que demostrar que las otras propiedades, teoremas -- pero alternativamente podríamos haber utilizado alguna otra propiedad como una definición y, a continuación, la definición original tendría que ser un teorema.

Específica para su caso, que he visto definiciones de $\sin$ $\cos$ donde comenzaremos por definir $\sin$ usando arclength, entonces podemos definir $\cos x$ a satisfacer $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Si tomamos este enfoque, sin duda, no hay nada que demostrar. Sin embargo, este no es el único enfoque posible! También es común para definir $\sin$ $\cos$ el uso de su serie de Taylor. Bajo este enfoque, se han dado una muy buena prueba de que $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. La prueba también podría ser válida si definimos $\sin$ $\cos$ a ser una base de funciones de satisfacciones $f''(x) = -f(x)$.

En resumen, depende de lo que usted defina $\sin$$\cos$; sin embargo, su prueba no es necesariamente circular. Y es un buen ejemplo de la que se derive un resultado acerca de algunas de las funciones de su serie de Taylor.

Answer 2

Usted se acaba de mostrar que el teorema de Pitágoras es una consecuencia de alguna de las propiedades de la (compleja) función exponencial, no hay circularidad en la que dicho argumento. Por ejemplo, podemos definir, por cualquier $z\in\mathbb{C}$, $$ f(z)=e^{z}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^n}{n!} \tag{1}$$ y demostrar a través de una combinatoria argumento de que tal función cumple $e^{z}\cdot e^{w}=e^{z+w}$.
Dado que los coeficientes de Taylor en $0$ analítica de la función son reales, tenemos $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$,
por lo tanto para cualquier $\rho\in\mathbb{R}$ $$ \left\| e^{i\rho}\right\| = e^{i\rho}\cdot e^{-i\rho} = e^0 = 1. \tag{2}$$ Si definimos $\cos(\rho)$ $\sin(\rho)$ como la real o la parte imaginaria de $e^{i\rho}$, obtenemos que $$ \sin(\rho)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \rho^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos(\rho)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \rho^{2n}}{(2n)!}\tag{3} $$ y $(2)$ se puede leer como: $$ \sin^2(\rho)+\cos^2(\rho) = 1.\tag{4}$$