¿Cuál es la longitud de un punto en la recta numérica real?

Question

Dado que un intervalo está compuesto por un número infinito de puntos, estoy considerando la relación entre la longitud de un intervalo y la longitud de un punto, lo que me lleva a preguntarme cuál es la longitud de un punto en la recta de los números reales?

El teorema del intervalo anidado me lleva a pensar que la longitud de un punto debería ser $0$ debido a que $\lim_{{n\to\infty}}(b_{n}\!-\!a_{n})=0$

Sin embargo, si la longitud de un punto en la recta de números reales es $0$, entonces llego a una contradicción: Supongamos que eliminamos el punto $0$ en la recta de números reales, entonces hay un hueco allí, y el ancho del hueco es $0$ ya que la longitud de un punto en la recta de números reales es $0$, sin embargo creo que el ancho del hueco siendo $0$ es equivalente a que no haya tal hueco en la recta de números reales, lo que lleva a una contradicción.

¿Qué está mal aquí? ¿Un punto en la recta de números reales tiene un ancho? Si es así, ¿cuál es la longitud de un punto en la recta de números reales? Infinitesimal?

Answer 1

Al igual que muchas otras 'paradojas', verás que al formalizar cuidadosamente el problema, éste desaparece. Cualquier fenómeno contra intuitivo que persista no es paradójico, sino simplemente contra intuitivo.

Entonces, ¿a qué te refieres con la longitud de un punto? Bueno, sea lo que sea, parece razonable definirlo con las siguientes propiedades: 1) la longitud de un intervalo $[a,b]$ es $b-a$; y 2) si el punto $p$ está contenido en un intervalo, entonces la longitud del punto es $\le $ a la longitud del intervalo. Además, asumimos que todas las longitudes se miden con números reales no negativos, por lo que no hay infinitesimales en absoluto.

De esto se deduce que la longitud de cualquier punto es $0$. Por lo tanto, cualquier noción de longitud de un punto que cumpla con lo anterior debe asignar longitud $0$ a cada punto. Eso es un teorema.

Por lo tanto, la situación que describes, donde al quitar un punto de longitud $0$ resulta en una línea rota, es una descripción correcta. No es una paradoja, sino más bien una situación contra intuitiva. ¿Qué haremos al respecto? Puedes examinar nuestras suposiciones y cambiarlas, o perfeccionar tu intuición. En este caso, sugiero lo último.

Answer 2

¿Qué está mal aquí?

Este es el error que cometes:

Creo que la anchura del espacio es $0$ es equivalente a que no existe tal espacio en la recta numérica real

Al igual que hay objetos con longitud $0$ (es decir, puntos individuales), existen espacios reales de longitud cero (es decir, la ausencia de un solo punto).

Answer 3

Como otros han señalado, la longitud de un solo punto debe ser cero para cualquier definición razonable de longitud. Sin embargo, hay que tener en cuenta que "longitud" y "número de puntos" son formas muy diferentes de medir el tamaño. Para un punto, la primera medida da cero y la segunda da uno. Para un intervalo abierto, la primera medida da la distancia entre los extremos y la segunda da infinito. Un solo punto es insignificante en el sentido de la longitud pero no en el sentido de la cantidad.

Si quitas un solo punto de un intervalo, la longitud total no cambia. El número de puntos también se mantiene igual, pero solo porque el intervalo tiene infinitos puntos desde el principio.

Estas diferentes formas de asociar conjuntos con tamaños se llaman medidas. La medida correspondiente a la longitud se llama la medida de Lebesgue, y la correspondiente al número de puntos se llama la medida de conteo. Esto puede o no significar algo para ti en este momento, pero te encontrarás con ellos más adelante si sigues trabajando con análisis real.

También debo señalar un posible razonamiento falso, a pesar de no estar presente en tu pregunta: el intervalo $[0,1]$ está formado por puntos, por lo que su longitud total debe ser la suma de las longitudes de sus puntos. (Podemos entender sumas no numerables. Especialmente si todos los números son cero, esto es fácil: entonces la suma es efectivamente cero.) Pero todos los puntos tienen longitud cero, ¡así que la longitud de $[0,1]$ también es cero! Este no es un mal argumento, pero resulta que las longitudes, o las medidas en general, no tienen esa propiedad aditiva. Sin embargo, si solo tomas una unión finita o numerable de conjuntos disjuntos, la longitud de la unión es la suma de las longitudes. (Estoy ignorando cuestiones técnicas relacionadas con la medibilidad ya que no vienen al caso.) El conjunto $[0,1]$ es no numerable, por lo que este "razonamiento geométrico ingenuo" falla, y puede ser esclarecedor averiguar por qué.

Answer 4

Tomemos como ejemplo los números racionales. Se pueden considerar como teniendo infinitos huecos, porque no incluyen a los irracionales. Sin embargo, esos huecos no tienen "ancho", porque puedes acercarte arbitrariamente a cada irracional desde arriba y abajo con un número racional. La situación es similar si eliminas un solo número real de todos los números reales.

En otras palabras: Hay demasiados de ellos, así que no te darás cuenta si falta uno solo ;).

Answer 5

Estictamente hablando, la "recta numérica" no tiene una "longitud" automáticamente asociada a ella, tenemos que agregarla. Típicamente, definimos la longitud del intervalo [a, b] (o (a, b), (a, b], [a, b)) como b - a. Usando esa definición de longitud, la longitud de un único punto es 0.