La secuencia que no es ni creciente ni decreciente, sin embargo, converge a 1

Question

Escriba un ejemplo de una secuencia que no es ni creciente después de un tiempo, ni la disminución después de un tiempo, sin embargo, que converge a 1. Acaba de dar el ejemplo, no te preocupes, se trata de probar que funciona.

Mi solución: $1.01,\ .99,\ 1.001,\ .999,\ 1.0001,\ .9999,\ \text{etc}\dots$

¿Que cumplan todas las condiciones? También, a juzgar por las instrucciones, ¿crees que habría que definir que la secuencia? En cuyo caso, yo podría hacer $\{x_n\} = 1 + .01^n$ por extraño $n$ $1 - .01^n$ incluso $n$ (a la que cambia la secuencia, pero sólo aumenta la velocidad a la que se aproxima a $1$).

La definición de un aumento de la secuencia utilizada es la siguiente término es mayor O igual que el anterior plazo. Y doblemente para disminuir.

Answer 1

Creo que la definición de la misma manera que se hizo está bien, pero también se puede usar

$$s_n = 1+\left(-\frac{1}{10}\right)^n$$

que es un pequeño y práctico truco para expresar la alternancia de secuencias muy bien.

Answer 2

Su solución funciona.

Me gusta $1+\dfrac{\sin n}{n}$. Pero es posible que yo soy raro.

Answer 3

EDIT: Como los comentarios a la nota, la formulación original de la pregunta no fue específico acerca de si las desigualdades en las definiciones estrictas. Con la especificación adicional ahora que "aumentar" y "disminuir" permitir la igualdad, esta respuesta, por supuesto que no cabe más.

Usted puede simplemente tomar la secuencia 1, 1, 1, 1, 1, ... .

Answer 4

Creo que es posible el uso de una conocida de Fibonacci de la secuencia de la propiedad:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}} = \varphi$$

donde $\varphi$ es la proporción áurea, y también es bien sabido que cada término de la secuencia, es decir, llamémoslo $a_n=\frac{F_{n}}{F_{n-1}}$, oscila entre un valor por encima y por debajo de $\varphi$. Por esa razón, la secuencia de $$\left\{n \gt 2:a_n=\frac{F_{n}}{F_{n-1}\cdot \varphi}\right\}$$ will be neither increasing after a while, nor decreasing after a while, and will converge to $1$.

Answer 5

Sí, su secuencia satisface todas las condiciones requeridas.

Otro ejemplo de secuencia: $$a_n = \begin{cases} 1+\frac 1n & \text{if } \log_{10}n \in \mathbb N \cup \{0\} \\ 1 & \text{otherwise} \end{casos}$$ tiene términos: $$\begin{align} a_1 & = 2 \\ a_{10} & = 1.1 \\ a_{100} & = 1.01 \\ a_{1000} & = 1.001 \\ a_{10000} & = 1.0001 \\ \ldots \end{align}$$ y todos los demás términos de la igualdad de $1$.