¿Cuál es(son) la razón(s) para la definición de las cosas de la siguiente manera?

Question

En esta respuesta está escrito que,

En la matemática moderna, hay una tendencia a definir las cosas en términos de lo que hacen en lugar de en términos de lo que son.

Mis preguntas son,

• ¿Cuál es(son) el filosófico y matemático de la razón(s) para hacerlo?

• Ha habido alguna crítica a este enfoque?

Answer 1

No sólo en las matemáticas modernas, pero en el mundo moderno. En realidad, siempre ha sido de esta manera, pero es más claro ahora.

Lo que define su dinero? Es el hecho de que es impreso en papel? ¿Por qué es que, cuando ha $2+2+1$ dólares es el mismo como si tuvieras un solo proyecto de ley de $5$ dólares? Esos son objetos diferentes, y diferentes cantidades. Pero tanto comprar las mismas cosas.

Lo que sucede es que ambos son equivalentes, en algún sentido. Si usted conoce el término y dejar de pensar un poco, clases de equivalencia son alrededor de nosotros en todo lo que hacemos. Es lo que hace de la comunicación y de las cosas prácticas. Si alguien escribe el conjunto de $\{1\}$ en un tablero negro, y viene alguien y escribir las "mismas", pero con una fea $1$ están hablando de la misma cosa. Pero esas cosas son, estrictamente hablando, diferentes. Son, incluso en lugares diferentes en el tablero.

Hablando de como este la hace sonar pedante e incluso inútil. Y lo que es. Que es lo que la matemática ha entendido muy bien por ahora. Que tales cuestiones filosóficas no son muy útiles (al menos en matemáticas), y nos llevaría a la perdición innecesariamente.

Lo que algo es , es la mayoría de las veces irrelevante, e incluso difícil de definir adecuadamente (también en ciencias naturales, no sólo en las matemáticas). Sin embargo, en matemáticas, tenemos algo de poder sobre la definición de las cosas, y esto nos permite pensar que estamos diciendo lo que algo es. Pero la mayoría de veces cuando estamos definiendo cosas que son en realidad la imposición de cierta artificialidad correspondiente a lo que quieren esas cosas para hacer. Echa un vistazo a la construcción de los números enteros, números racionales, números complejos, producto tensor etc. Estas construcciones son, al final del día, sólo una garantía de que algo con esas propiedades existir... lo que es no decir que no siempre es fácil, al contrario. Por ejemplo, la construcción de los números ordinales/números cardinales es (al menos para mí) bastante esclarecedoras y elaborados. Pero están hechas con algo en mente, y con las propiedades que queremos en la mente. Ellos son, en cierto sentido, los modelos de algunos idealización de cómo esas cosas se comportan, no lo que debería ser. Precisar exactamente cómo algo debe comportarse y cómo traducir es una de las partes más importantes de las Matemáticas.

Lo que importa es que el $1$ I dibujar sobre la plancha y de la $1$ I dibujar en el tablero es el mismo que el de los feos $1$ mi amigo de drew y otra fea $1$ puede dibujar. Ninguno de ellos es menos $1$ que el otro, y que preocuparse acerca de que es, literalmente, una pérdida de tiempo.

Answer 2

Respuesta corta: el Pragmatismo.

Es conveniente para usar y desarrollar las matemáticas (especialmente en las disciplinas de ingeniería) para maximizar su eficiencia como herramienta de trabajo.

Un ejemplo se puede encontrar en Wittgenstein "Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik". Es acerca de por qué hemos de aprender a sumar en una forma mecánica en la escuela. Con algoritmos de aprendizaje y la definición de propiedades, las matemáticas va a ser muy transparente para que la gente de aprendizaje. No hay ninguna oscuro idea necesita, por ejemplo, por qué consideramos algo como un factor determinante y pensar acerca de su existencia. Es útil en un principio debido a sus propiedades.

En el libro, hay un ejemplo sobre la suma y por qué debe realizarse mecánicamente. En nuestra vida diaria, no queremos discutir cómo realizar operaciones matemáticas. Por ejemplo, cuando se recibe una factura a pagar, yo soy capaz de sumar los precios de mecánica y si encuentro errores, me puede referirse a que el algoritmo que he aprendido en la escuela y todo el mundo estará de acuerdo. Este enfoque excluye cualquier discusión acerca de qué son los números. No hay discusión acerca de la existencia de una función denominada ", además de" necesario. La única cosa que importa es que sean útiles (que es handwavingly definido sin pensarlo mucho).

Este enfoque se justifica por qué es importante lo que hacen.

Creo que no puedo dar ningún elaborado respuesta a su segunda pregunta, sólo una idea rápida: se Asume que su enfoque de las matemáticas se basa en la filosofía primera, lo que significa que la manera de lidiar con las matemáticas sigue ciertos principios filosóficos. Estos principios (como: aceptar sólo construyen cosas, ser claro acerca de la existencia de los objetos matemáticos, ningún Axioma de Elección) podría ser violados si usted consigue algunos resultados de un método que utiliza la "utilidad" como un criterio.

Answer 3

La distinción que se está dibujando en realidad ha ocurrido en dos niveles a partir de finales del siglo 19 hasta el presente. No es el nivel de los descartes detalles irrelevantes de un objeto de estudio la estructura que queda (que es fundamental la abstracción que conduce a las ideas de número y así sucesivamente) y no es el nivel de estudio de cómo un objeto se transforma en lugar de la observación de que "en reposo".

En el siguiente yo uso las variaciones de la frase "satisfacen los axiomas "como una abreviación de "satisface normalmente de múltiples capas de la colección de conjuntos de axiomas y también las definiciones de un tipo particular de objeto matemático".

Primero no importa de qué están hechos los objetos, sólo nos preocupa que satisfacen los axiomas del sistema que desea usar para el modelo. Un ejemplo: no me importa si el grupo en el que estoy estudiando es de rotaciones de algún objeto, sólo me importa que la recogida de sus elementos tiene la estructura de un grupo (y que satisfaga un conjunto de relaciones sobre el que sé lo suficiente como para llegar a mis conclusiones deseadas). En este sentido, estamos a la aplicación de la primera capa de abstracción: el desprecio de los detalles de la implementación y prestar atención a la estructura que sigue. El estudio de la categoría de la teoría de la empuja esta idea mucho más allá: es dejar de preocuparse acerca de que el conjunto de axiomas de cada objeto que satisface y la búsqueda de patrones comunes a través de las diferentes colecciones de objetos, donde cada colección contiene los objetos de la satisfacción de una colección particular de axiomas. En ese nivel, los objetos no tienen necesidad de implementaciones como rotaciones o lo que sea, así que realmente no puede "ver" elementos de los objetos. En su lugar, vemos que las funciones entre pares de objetos y el estudio de los patrones de estas funciones, que convenientemente se da paso a la segunda idea.

El estudio de la doble de un objeto de satisfacer una colección de axiomas es el estudio de las funciones del objeto en algún otro objeto. A pesar de que el artículo habla de dos espacios vectoriales, la idea de dobles se extiende aún más. Por ejemplo, el estudio de automorfismos y homomorphisms algebraico de los objetos es el estudio de las análogo dual en esta otra configuración. Desarges Teorema es acerca de una dualidad en la geometría Euclidiana que (de una manera más precisa que la que voy a escribir aquí) muestra que los teoremas de la geometría, no se modifican al intercambiar las apariciones de "punto" y "línea". En la doble configuración, el conjunto de funciones que se pueden plegar, eje, y de lo contrario deformar el objeto es muy interesante, porque nos restringimos a las funciones que preservar de alguna propiedad del objeto. Una medida es una función de (algunos) de los subconjuntos de un conjunto dado de números reales que convierte el anidamiento para ordenar (pequeños conjuntos de números pequeños, grandes conjuntos de números grandes). Este estudio es esencialmente el estudio de la primera etapa de la categoría teoría, el estudio de la estructura de la preservación de los mapas similares (a través de morfismos) o diferentes (a través de functors) de los objetos. Sin embargo, no es así como este estudio es normalmente enmarcada -- normalmente es discutido como una manera de desentrañar la información acerca de la estructura interna del objeto original. Por ejemplo, el doble de homología (el estudio de sumas ponderadas de puntos, líneas, áreas, et c.) es cohomology (el estudio de las funciones de puntos, de líneas, o de zonas, et c. a un objetivo fijo, generalmente de un campo). Mientras que (en palabras de la redacción del primer artículo relacionado en este párrafo) el estudio de la primitiva, homología, es intuitivamente directa, el estudio de la doble, cohomology, revela más acerca de la estructura interna del objeto. Otro primal/doble pareja aparece en la teoría de Galois (y elijo este ejemplo no debido a la escasez de ejemplos, pero debido a que es relativamente accesible) entre el gráfico de campo de las extensiones asociadas con (la división de campo de) un polinomio y el gráfico de inclusiones de automorfismos de los campos de la celebración de la inmediata subcampos fijo. Este es un ejemplo donde en una estructura, los objetos están aumentando (campo de las extensiones son, genéricamente, de menor a mayor) y los duales son la disminución (menos automorfismos son posibles si un gran campo base se fija en lugar de un pequeño campo base). Esto produce un functor contravariante entre la categoría de campo de las extensiones y de la categoría de "grupos de automorfismos de la extensión de los campos de la celebración de su base de campos fijos". Pero es esta última categoría la que nos dice si un polinomio es solucionable en los radicales. Para el estudio de la doble, la colección de "lo que este objeto en la estructura de la preservación de los mapas" que nos informa sobre el objeto, no "lo que este objeto es".

Esta última idea de los flujos de Noether del teorema de dualidad entre las simetrías de un objeto (lo que la estructura de la preservación de las cosas que hace) y los invariantes de los objetos (lo que el objeto es) y ha informado a enormes sectores del siglo 20 la física y la química. Conservación de momento lineal (algo intrínseco a un sistema, por lo que "lo que es") se corresponde con la traducción de la invariancia (algo que se hace por/para el sistema). Correr con esta idea sugiere el estudio de las simetrías de un objeto: el conjunto de la estructura de la preservación de las funciones del objeto en sí y, a continuación, a la caza de los patrones de estas colecciones de simetrías. Este, a continuación, fluye en las dos ideas me escribió acerca de encima.

Es un hecho afortunado de que, mientras que las piezas no siempre responda a todas las preguntas que nos hacemos, por lo general hay un doble que se puede llenar en todas o algunas de las lagunas. Así, sabiendo lo que es un objeto no es suficiente; debemos también saber lo que hace.

Answer 4

Son la consecuencia de formalismo, ¿cuál es el núcleo de las matemáticas modernas y gigante en desarrollo desde principios del siglo XX.

El punto es que es irrelevante para preguntar acerca de "lo que son", porque la respuesta es "nada" o "nada".

Para la ciencia existe una máxima que dice: la forma es la función, es decir, no hay diferencia entre lo que "son" y lo que "hacemos".

Observe que la pregunta acerca de "lo que son", se metafísica, variable y subjetiva.

Por otro lado, el pragmatismo es la base de toda la ciencia y el desarrollo, es decir, el pragmatismo es el requisito de objetividad, desde el antiguo imperio Roma al día de hoy: saber lo que algo es ver qué hace, cuáles son sus consecuencias.

La historia del desarrollo de la humanidad es la historia de transformar las "cosas" a "no-cosas". La razón es que cuando algo "es", entonces se limita a lo que es... pero cuando algo "no es", es libre para ser utilizado como desee.

Un ejemplo de esta transformación es el cambio de idioma escrito basado en símbolos (por ejemplo ideogramas o jeroglíficos) a los idiomas basados en los signos (letras, sílabas), con la trascendental aparición del alfabeto de la antigua grecia.