Cómo encontrar el área bajo los senos sin cálculo?

Question

En la sección de establecer que las integrales y sus derivados son inversos el uno al otro, James Stewart, Cálculo del libro de texto dice (pp325--pp326, 4 Segundos.3, 8Ed):

Cuando el matemático francés Gilles de Roberval primer lugar se encuentra el área bajo el seno y el coseno de curvas en 1635, este fue un problema complejo que requiere una gran cantidad de ingenio. Si no tiene el beneficio de que el Teorema Fundamental del Cálculo, se tendría que calcular el difícil límite de sumas usando oscuros identidades trigonométricas. Era aún más difícil para Roberval porque el aparato de límites no había sido inventado en 1635.

Me pregunto cómo Gilles de Roberval hizo. Wikipedia y MacTutor no contienen mucha información sobre eso. Cómo aplicar el método de la cuadratura es exactamente el verdadero reto, supongo.

Esto es principalmente una historia de la cuestión, pero yo también soy curioso en cuanto a cómo se enfoque esta en los tiempos modernos. Gracias.

P. S. no estoy seguro de si este es el lugar adecuado para esta pregunta, y voy a migrar este a la historia StackExchange sitio, si se considera así.

Answer 1

Usted puede ver Roberval del método en el Siglo Xvii Indivisibles Revisited, por Vicente Julien, pp 192-194. Aquí hay un enlace a la sección de búsqueda de Libros de Google: https://books.google.com/books?id=8Vt1CQAAQBAJ&pg=PA192

Se trata de un complejo geométrico argumento, y no he trabajado a través de los detalles, pero no a mí me parece que es el mismo como una suma de Riemann. La prueba parece estar basada en la construcción de triángulos semejantes con una infinitesimal lado, dentro de un círculo.

Answer 2

Vamos a mostrar que $$ I(a,b)=\int_{a}^{b}\cos(x)\,dx = \sin(b)-\sin(a) \tag{1}$$ a través de las sumas de Riemann. Tenemos que calcular: $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right) \tag{2}$$ pero la RHS de $(2)$ es una suma telescópica en el disfraz, por lo tanto $(1)$ se reduce a probar que $$ \lim_{n\to +\infty}\frac{(b-a)}{n}\,\cos\left(\frac{(b-a)+(a+b) n}{2 n}\right)\frac{\sin\left(\frac{b-a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{b-a}{2 n}\right)}=\sin(b)-\sin(a)\tag{3}$$ que no es tan difícil. Esta es mi suposición de Roberval del método.

Answer 3

Bueno, si usted tiene una escala precisa a la mano...

1. Cortar 1 centímetro cuadrado de papel y el peso
2. Dibujar o imprimir la curva con precisión sobre el mismo tipo de papel
3. Cortar el área por encima de la curva de ámbitos positivos, y por debajo de la curva por la negativa de las áreas
4. Pesan la curva, a continuación, convertir la masa a la plaza de centímetros usando su medición en el primer paso.