Cómo probar $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} = \frac{\pi+1}{2}+\frac{\pi}{e^{2\pi}-1}$

Question

¿Cómo podemos demostrar lo siguiente?

$$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{1+n^2} = \dfrac{\pi+1}{2}+\dfrac{\pi}{e^{2\pi}-1}$$

He probado a utilizar la fracción parcial y el famoso resultado $$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

Pero estoy atascado en este problema.

Answer 1

Consideremos primero la siguiente expansión de $\pi \cot(\pi z)$ :

$$\pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{2z}{z^2 - n^2} \quad (z \neq 0, \pm 1, \pm 2,\ldots)$$

Sustitución de $z$ por $iz$ tenemos

$$-i\pi \coth(\pi z) = \frac{1}{iz} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{2iz}{z^2 + n^2} = -i\left(\frac{1}{z} + 2\sum_{n = 1}^\infty \frac{z}{z^2 + n^2}\right)$$

Así,

$$\pi \coth(\pi z) = \frac{1}{z} + 2\sum_{n = 1}^\infty \frac{z}{z^2 + n^2} \quad (z \neq 0, \pm i, \pm 2i,\ldots)$$

Evaluar en $z = 1$ resultados en

$$\pi \coth(\pi) = 1 + 2\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{1 + n^2},$$

o

$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{1 + n^2} = \frac{\pi \coth(\pi) - 1}{2}.$$

Por lo tanto,

\begin {align} \sum_ {n = 0}^ \infty \frac {1}{1 + n^2} &= \frac { \pi\coth ( \pi )+ 1}{2} \\ &= \frac {1}{2} \left ( \frac { \pi (e^{ \pi } + e^{- \pi })}{e^{ \pi } - e^{- \pi }} + 1 \right ) \\ &= \frac {1}{2} \left ( \frac { \pi (e^{2 \pi } + 1)}{e^{2 \pi } - 1} + 1 \right ) \\ &= \frac {( \pi + 1)e^{2 \pi } + ( \pi - 1)}{2(e^{2 \pi } - 1)} \\ &= \frac {( \pi + 1)(e^{2 \pi } - 1) + 2 \pi }{2(e^{2 \pi } - 1)} \\ &= \frac { \pi + 1}{2} + \frac { \pi }{e^{2 \pi } - 1}. \\ \end {align}

Answer 2

Pista: Diferencie el logaritmo natural de Expresión del producto infinito de Euler para la función seno Entonces, utiliza las conocidas relaciones entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas.