¿Por qué retenemos exactitud cuando tensoring $\mathcal{O}_C$ en Hartshorne, V.1.3 lema?

Question

Hartshorne, la Geometría Algebraica, Capítulo V, Lema 1.3, lee (en parte):

A lo largo de este capítulo, una superficie significará un nonsingular proyectiva de la superficie a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$. [...] Vamos a $X$ ser una superficie.

[...]

Lema 1.3. Deje $C$ ser una irreductible nonsingular curva en $X$ , y deje $D$ ser cualquier curva de la reunión $C$ transversalmente. Entonces $$\#(C \cap D) = \deg_C(\mathscr{L}(D) \otimes \mathcal{O}_C).$$ Prueba. [...] Usamos el hecho de que $\mathscr{L}(D)$ es el ideal de la gavilla de $D$$X$. Por lo tanto, tensoring con $\mathcal{O}_X$, tenemos una secuencia exacta $$0 \to \mathscr{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_{C \cap D} \to 0$$ donde ahora se $C \cap D$ indica el esquema de la teoría de la intersección. [...]

Así que al parecer nos hemos tomado la secuencia exacta $$0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0$$ coherente de las poleas en $X$, tensored por la coherente gavilla $\mathcal{O}_C$, y la secuencia resultante es todavía exacto.

Ahora, como yo lo entiendo, $\mathcal{O}_C$ no es plana: la Proposición III.9.2(e) dice que una coherente gavilla en un noetherian esquema es plana iff es localmente libre, y $\mathcal{O}_C$ está claro que no es localmente libre desde que se apoya en una curva. (Por supuesto, supongo que en realidad no necesitan planitud aquí.)

Answer 1

Sólo para responder a su pregunta, tal como se plantea, la secuencia sigue siendo exactos debido a $C$ $D$ satisfacer de manera transversal, en particular, $C \cap D \subsetneq C$. En particular, el local de la ecuación de $D$ sigue siendo distinto de cero cuando se limita a $C$. Desde $C$ es integral, el mapa de $\mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X$ (multiplicación por el local de la ecuación de $D$) sigue siendo inyectiva después de tensoring con $\mathcal{O}_C$.

Si desea ver esta algebraicamente: la secuencia

$$0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0$$

corresponde, en una lo suficientemente pequeño afín gráfico de $X$, decir $X = \mathrm{Spec}(R)$ donde $D$ local tiene la ecuación de $f$ $C$ local tiene la ecuación de $g$,) a la secuencia

$$0 \to R \to R \to R/(f) \to 0,$$

donde el primer mapa es la multiplicación por $f$. Tensoring con $C$ significa tensoring con $R/g$, como usted dijo:

$$0 \to R/(g) \to R/(g) \to R/(f,g) \to 0,$$

donde el primer mapa es de nuevo la multiplicación por $f$ ni, a priori, inyectiva más. Pero por nuestra hipótesis, $C \cap D \subsetneq C$, por lo que la imagen de $f$ no es cero en $R/g$. Desde $R/g$ es un dominio, esto significa que la multiplicación por $f$ todavía es inyectiva.

Answer 2

No $$0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0$ $ tensor $\mathcal{O}_C$ es

$$0\to {\mathcal Tor}_1( \mathcal{O}_D,\mathcal{O}_C)\to \mathscr{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_{C \cap D} \to 0$ $ desde $\mathcal{O}_X$ es plana.

Ahora ${\mathcal Tor}_1( \mathcal{O}_D,\mathcal{O}_C)$ es un haz en ${C \cap D}$ y es localmente libre en $\mathscr{L}(-D) \otimes \mathcal{O}_C$ $C$.

Observe que el subsheaf de una gavilla localmente libre no puede ser torsión, por lo tanto, $${\mathcal Tor}_1( \mathcal{O}_D,\mathcal{O}_C)=0$ $.

Answer 3

De hecho, me estaba confundido por grandes porciones de V. I, en particular, esta parte. Esperemos que alguien va a venir y decirnos por qué estamos haciendo el tonto.

Me gustaría darle una ruta alternativa para probar los diversos teoremas fundamentales aquí, que yo he encontrado más útil. Yo habría hecho este comentario, pero, por desgracia, es demasiado largo.

Esperamos que sea de alguna ayuda para usted, es la única manera de recordar cómo las cosas en V. me funciona!

---

En la forma habitual, definir la multiplicidad de la intersección de dos no-singular curvas de $C$ $D$ sobre una superficie $X$ a un punto de $x$ $m_x(C,D):=\ell_{\mathcal{O}_{X,x}}(\mathcal{O}_{X,x}/(f,g))$ donde $f$ $g$ son locales ecuaciones de definición de $C$$D$$x$. Definir, a continuación,$\langle C,D\rangle$$\displaystyle \sum_{x\in C\cap D}m_x(C,D)$. Claramente, a continuación, $m_x(C,D)=\#(C\cap D)$ si $C$ $D$ satisfacer transversalmente. Por otra parte, es claro que $m_x(C,D)=\dim_k H^0(X,\mathcal{O}_{C\cap D})$.

Ahora, para cualquiera de las dos de la línea de paquetes de $\mathscr{L},\mathscr{L}'$ definir $\langle\mathscr{L},\mathscr{L}'\rangle$ por

$$\chi_X(\mathcal{O}_X)-\chi_X(\mathscr{L}^{-1})-\chi_X(\mathscr{L}'^{-1})+\chi_X(\mathscr{L}^{-1}\otimes\mathscr{L}'^{-1})$$ Afirmo entonces que:

Para $C$ $D$ como en el anterior, $\langle C,D\rangle=\langle\mathcal{O}(C),\mathcal{O}(D)\rangle$.

Para probar esto, simplemente comprobar que la secuencia siguiente es exacta

$$0\to\mathcal{O}(-D-C)\to\mathcal{O}(-C)\oplus\mathcal{O}(-D)\to \mathcal{O}_X\to i_\ast\mathcal{O}_{C\cap D}\to 0$$

donde $i:C\cap D\to X$ es la inclusión, y los dos primeros mapas se $x\mapsto s'x-sx$, e $(x,y)\mapsto sx+s'y$ donde $s$ $s'$ global secciones de $\mathcal{O}(C)$ $\mathcal{O}(D)$ respectivamente. Esto es fácil de comprobar afín a nivel local.

Luego, tomando a $\chi$ tenemos

$$\chi_X(i_\ast(\mathcal{O}_{C\cap D}))=\chi_X(\mathcal{O}_S)-\chi_X(\mathcal{O}(-D))-\chi_X(\mathcal{O}(-C))+\chi_X(\mathcal{O}(-C-D))$$ que da el resultado deseado después de señalar que

$$\chi_X(i_\ast\mathcal{O}_{C\cap D})=\chi_{C\cap D}(\mathcal{O}_{C\cap D})=H^0(X,\mathcal{O}_{C\cap D})$$ desde $C\cap D$ es cero dimensional $\blacksquare$

Ahora, queremos demostrar que para una curva suave $C\subseteq X$, y una línea de paquete de $\mathscr{L}$ que $$\langle\mathcal{O}(C),\mathscr{L}\rangle=\deg(i^\ast\mathscr{L})$$ donde $i$ es la incrustación de $C\to X$. De hecho, si esto fuera cierto, entonces, por dos liso transversalmente interesante curvas de $C$ $D$ tenemos que

$$\#(C\cap D)=\langle C,D\rangle=\langle \mathcal{O}(C),\mathcal{O}(D)\rangle=\deg(i^\ast\mathcal{O}(D))$$ que es lo que buscábamos.

Para demostrar que éste sólo se considera el cerrado subscheme SES $$0\to\mathcal{O}(-C)\to\mathcal{O}_X\to i_\ast\mathcal{O}_C\to 0$$ Tensor de este con $\mathscr{L}$ para obtener $$0\to\mathcal{O}(-C)\otimes\mathscr{L}\to\mathscr{L}\to i_\ast\mathcal{O}_C\otimes\mathscr{L}\to 0$$ Tomando $\chi_X$ da $$\chi_X(\mathscr{L}^{-1})-\chi_X(\mathscr{L}^{-1}\otimes \mathcal{O}(-C))=\chi_C(i^\ast\mathscr{L}^{-1})$$ donde he utilizado la fórmula de proyección para ver que $$\mathscr{L}^{-1}\otimes i_\ast\mathcal{O}_C=i_\ast(i^\ast\mathscr{L})$$ y el hecho de que $\chi_X(i_\ast(i^\ast\mathscr{L}^{-1}))=\chi_C(i^\ast\mathscr{L}^{-1})$.

Así,

$$\begin{aligned}\langle\mathcal{O}(C),\mathscr{L}\rangle &=\chi_X(\mathcal{O}_X)-\chi_X(\mathscr{L}^{-1})-\chi_X(\mathcal{O}(-C))-\chi_X(\mathcal{O}(-C)\otimes\mathscr{L}^{-1})\\ &=\chi_C(\mathcal{O}_C)-\chi_C(i^\ast\mathscr{L}^{-1})\\ &=-\deg(\mathscr{L}^{-1})\\ &=\deg(\mathscr{L})\end{aligned}$$ donde he utilizado "Riemman-Roch" (""=no hay necesidad de que la dualidad de Serre) en el lugar obvio.