La SVD es la sigla de Singular Value Decomposition (descomposición del valor singular). Después de descomponer una matriz de datos $\mathbf X$ utilizando la SVD, resulta en tres matrices, dos matrices con los vectores singulares $\mathbf U$ y $\mathbf V$ y una matriz de valores singulares cuyos elementos diagonales son los valores singulares. Pero quiero saber por qué esos valores se denominan valores singulares. ¿Hay alguna relación entre una matriz singular y estos valores singulares?
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Andrew
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Desde Sobre la historia temprana de la descomposición del valor singular por Pete Stewart:
El término "valor singular" parece provenir de la literatura sobre ecuaciones integrales. Un poco después de la aparición del artículo de Schmidt, Bateman se refiere a los números que son esencialmente los recíprocos de los valores propios del núcleo como valores singulares. Picard combinó los resultados de Schmidt con el teorema de Riesz sobre la convergencia fuerte de las series de Fourier generalizadas para establecer una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones de ecuaciones integrales.
En un artículo posterior sobre el mismo tema, señala que para los núcleos simétricos los valores propios de Schmidt son reales y en este caso (pero no en general) los llama valores singulares. En 1937, Smithies se refería a los valores singulares de una ecuación integral en nuestro sentido moderno de la palabra. Incluso en ese momento, el uso no se había estabilizado. En 1949, Weyl habla de los "dos tipos de valores propios de una transformación lineal", y en una traducción de 1969 de un tratado ruso de 1965 sobre operadores no autoadjuntos, Gohberg y Krein se refieren a los "números s" de un operador.
Consulte el artículo para ver más relatos fascinantes sobre cómo surgió la SVD, incluso antes del artículo seminal de Golub/Kahan.
A.P.
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De Schwartzman Las palabras de las matemáticas :
singular (adjetivo), singularidad (sustantivo): del latín singulus "separado, individual, único", de la raíz indoeuropea sem- "uno, como uno". Si hay un solo ejemplo de algo, ese ejemplo se convierte en especial, por lo que singular adquirió el significado de "fuera de lo común". [...] El significado "fuera de lo común, problemático", explica por qué una matriz singular es una matriz cuadrada cuyo determinante es igual a $0$ en lugar de $1$ como indica la etimología.
También hay que tener en cuenta que los términos matriz singular y valor singular son contemporáneos. Hicieron su primera apariencia documentada en 1907 y 1908, respectivamente.
Como tal, supongo que valores singulares se llaman así sólo porque son, en efecto, fuera de lo común. Proporcionan un bonito invariante para cualquier matriz de valor complejo.
