Cómo probar $\phi(mn) > \phi(m)\phi(n)$ si $(m,n) \ne 1$

Question

Necesito demostrar que

$$\phi(mn) > \phi(m)\phi(n)$$

Si $m$ y $n$ tienen un factor común mayor que 1.

He leído sobre el caso donde $m$ y $n$ son relativamente primeros, $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$.

Answer 1

Según este recientemente la pregunta, $$\phi(MN) = \phi(m) \phi(n) \frac{d}{\phi(d)},$$ donde $d = \gcd(m,n)$. Su pregunta desprende el hecho de que $\varphi(d) < d$ cuando $d>1$.