Calcular el dígito de th de $k$ $\pi$

Question

Soy nuevo en el de matemáticas.stackexchange así que disculpas de antemano por cualquier errores garrafales:

Estoy tratando de calcular $\pi$, utilizando la siguiente técnica aquí.

Teniendo en cuenta el enlace de arriba dice:

El descubrimiento de esta fórmula llegó como una sorpresa. Durante siglos se había asumido que no había manera de calcular el $n$th dígitos de $\pi$ sin calcular todos los de la anterior $n − 1$ dígitos.

No voy a pretender que entender el cálculo y puede haber entendido mal, pero de lo que he entendido, esta fórmula debe identificar el $k$th dígitos de $\pi$ de forma independiente (es decir, sin tener que calcular la anterior $k-1$ dígitos):

$$\sum_{k=0}^\infty \left[ { 1 \over 16^k} \left( {120k^2 + 151k + 47 \over 512k^4 + 1024k^3 + 712k^2 + 194k + 15 } \right) \right]$$

The values I'm getting out are:

k  result
0  3.133333
1  0.0080891331
2  0.0001649239

....I realise that summing these gives me the correct digits of $\pi$ to an accuracy of $k$, sin embargo mediante el cálculo de cada una de ellas, parece que aún "estamos calculando todos los de la anterior n-1 dígitos"?

Answer 1

Se trata no de decimales, es para dígitos hexadecimales. Ver esta parte de la página de Wikipedia para el procedimiento.

No hay nada como buena (en términos de tiempo) para decimales, pero Fabrice Bellard tiene un método de $O(n^2)$.