¿Es $\tan (x)$igual $\frac{-1}{x-\frac{\pi}{2}}+\frac{-1}{x+\frac{\pi}{2}}+\frac{-1}{x-\frac{3\pi}{2}}+\frac{-1}{x+\frac{3\pi}{2}}+...$?

Question

Me puse mis 12 Años a los estudiantes una pregunta relacionada con la suma de funciones racionales $\frac{1}{x-n}$. La gráfica de la suma de estas funciones se parece mucho a la de un bronceado gráfico. Esto me llevó a preguntar:

Qué $\tan (x)$ igual $\frac{-1}{x-\frac{\pi}{2}}+\frac{-1}{x+\frac{\pi}{2}}+\frac{-1}{x-\frac{3\pi}{2}}+\frac{-1}{x+\frac{3\pi}{2}}+...$?

He jugado con él un poco. Puedo demostrar que la derivada del lado derecho es$1$$x=0$, lo que es prometedor. No tengo más.

(Estoy suponiendo que la convergencia de los RHS...)

yo. Podría alguien tiene un delicioso prueba o refutación de esta identidad?

ii. La variación de la +s y -s en la suma parece producir gráficos que se parecen a $\sec(x)$. Hay un método general para escribir una función que tiene asíntotas verticales como una suma de tales funciones recíprocas?

Gracias!

Answer 1

Hay que recordar que la representación del producto infinito de la función coseno está dada por

$$\cos z=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{\pi^2(n-1/2)^2}\right) \tag 1$$

Ahora, toma la derivada logarítmica de ambos lados del $(1)$ y multiplicar por $-1$ para exponer

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\tan z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-2z}{z^2-(n-1/2)^2\pi^2}} \tag 2$$

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NOTA:

Podemos escribir la suma de $(2)$ como

$$\tan z=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{z-(n-1/2)\pi}+\frac{-1}{z+(n-1/2)\pi}\right)$$

Answer 2

Una pequeña alteración en el trabajo proporcionado en la sección "Ejemplo" de las fracciones Parciales en el complejo análisis de la página de la Wikipedia (vinculados por Jyrki Lahtonen arriba) conduce a una representación similar para $\sec x$.

Los residuos de $\tan z$ se calcula de la siguiente manera (usando L'Hôpital para el límite): $$ Res\left[\bronceado z ; (n+\tfrac{1}{2})\pi\right]=\lim_{z \a (n+\frac{1}{2})\pi} \left(z- (n+\tfrac{1}{2})\pi \right)\frac{\sen z}{ \cos z} = \frac{\sin \left((n+\tfrac{1}{2})\pi \right)}{ - \sin \left((n+\tfrac{1}{2})\pi \right)}=-1 $$ Mientras que los residuos de $\sec z$ son: $$ Res\left[\sec z ; (n+\tfrac{1}{2})\pi\right]=\lim_{z \a (n+\frac{1}{2})\pi} \left(z- (n+\tfrac{1}{2})\pi \right)\frac{1}{ \cos z} = \frac{1}{ - \sin \left((n+\tfrac{1}{2})\pi \right)}=(-1)^{n+1} $$ Y este pequeño ajuste conduce a: $$ \sec z=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{z-(n+\tfrac{1}{2})\pi}+\frac{(-1)^{n}}{z+(n+\tfrac{1}{2})\pi}\right) $$ (Este ha sido un excelente domingo por la mañana, refrescante mi carrera de análisis complejo.)