¿Hay un criterio general para determinar si un polinomio con coeficientes racionales tiene la propiedad de sus raíces son reales y no negativo?
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eljenso
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El número de raíces reales negativas de $p(x)$ $m-2k$ algunos $k=0,1,2,...$ donde $m$ es el número de cambios de signo en los coeficientes del polinomio $q(x)=p(-x)$. Así que si esto $q(x)$ no tiene ningún signo de los cambios en los coeficientes, a continuación, $p(x)$ sólo puede tener raíces reales no negativos.
Ejemplo: $p(x)=x^9-3x^4+7x-1$ da $q(x)=-x^9-3x^4-7x-1$ con todos los coeficientes negativos, por lo que no se $m=0$ signo de los cambios, causando $p(x)$ a han solo no negativo de las raíces reales. Aquí $p(x)$ sí tiene tres cambios de signo, por lo que tiene 1 o 3 raíces reales positivas.
Esto se llama Descarte de la regla de los signos. Por supuesto, puede no determinar nada en absoluto acerca de la negativa de las raíces si no son signo de los cambios en la $q(x),$ desde el si $q(x)$ tiene un número de cambios de signo, a continuación, el número de negativos raíces $m-2k$ puede ser cero cuando se $m$ es incluso.
La respuesta completa es un poco complicada de escribir. Sugiero mirar Teorema de Sturm. La secuencia de Sturm del polinomio $P(x)$ puede utilizarse para determinar el número de ceros de $P(x)$ en un intervalo dado. Es un elemento crucial en el procedimiento de decisión de Tarski de la verdad en reales de las penas de la teoría elemental de campos.
