Círculo en la esfera

Question

Prólogo

Esta pregunta fue inspirado por los errores iniciales en esta pregunta. Quería explorar el extraño círculo con $A>\pi r^2$ y se perdió en geométrica de la selva.

Un casquete esférico es generalmente descrito por su altura $h$, el radio de la base $a$ y el radio de la esfera $r$. Además tenemos una relación $a^2+(r-h)^2=r^2$ por lo que el cap en realidad sólo tiene dos grados de libertad.

Cuando se considera un caso de círculo en una esfera (como la Tierra), es la superficie de un casquete esférico, pero no podemos ver la altura o de otro clásico de los parámetros de este casquete esférico. En su lugar nos encontramos con parámetros como el área de $A$, perímetro $C$ y el diámetro de la $d$. Voy a tratar de escribir las fórmulas de estos: $$A=2\pi rh$$ $$C=2\pi a$$ $$d=2r\theta$$

Donde $\theta$ se presentó con $\sin\theta=\frac{a}{r}$ o $\cos\theta=(1-\frac{h}{r})$.

Como la tapa sólo tiene dos grados de libertad, debe ser un buen problema con solución única si sólo dos valores son conocidos.

A-C Problema

El simple ejemplo: $A$ $C$ se dan. Puedo mostrar esto sólo como ejemplo ante el resto de tareas.

Podemos encontrar fácilmente $a=\frac{C}{2\pi}$ y, a continuación, resuelve:

$$A=2\pi rh = 2\pi r (r-\sqrt{r^2-a^2})$$

para obtener

$$r=\frac{A}{2\sqrt{\pi(A-\pi a^2)}}$$

Los parámetros de $a$ $r$ ahora son conocidos y es sencillo encontrar $h$, $d$, $\theta$ y otra cosa.

C-d Problema

$C$ $d$ se dan.

Primer paso, una vez más es fácil: $a=\frac{C}{2\pi}$. El conocimiento de $a$ sugiere que podríamos preferir la $\theta$ definición con el seno. Obtenemos: $$d=2r\theta=2r\arcsin\frac{a}{r}$$

Que es donde me quedé atrapado. Hay una manera fácil de solucionar esto? Hay un duro camino para resolver esto?

Traté de resolver numéricamente con Wolfram Mathematica y entró a los números complejos. A la hora de resolver los geométricamente equivalente $\sin\frac{d}{2r}=\frac{a}{r}$ tengo algunas raíces, pero la búsqueda parecía muy inestable y no la búsqueda de la raíz más cercana al valor inicial. Además fue encontrar un montón de diferentes raíces mientras estoy bastante seguro de que debe haber sólo una $r$ para cada par de $d$$a$. ¿Cuál sería la fórmula adecuada para resolver este problema numéricamente?

A-d problema

$A$ $d$ se dan. Esto parece el más difícil. Obtenemos un sistema de ecuaciones:

$$A=2\pi r h$$ $$d=2r\arccos\left(1-\frac{h}{r}\right)$$

(La primera ecuación sugiere resolver el problema en $h$$r$).

Es este sistema pueden resolver analíticamente? O numéricamente? Mis experimentos con Wolfram Mathematica nunca convergente.

Por supuesto, yo podría expresar $h$ o $r$ a partir de la primera ecuación y dejar sólo el segundo en una de estas formas: $$d = 2r\arccos\left(1-\frac{A}{2\pi r^2}\right)$$ $$d = \frac{A}{\pi h}\arccos\left(1-\frac{2\pi h^2}{A}\right)$$

Pero no tengo idea de cómo resolver estos.

Answer 1

Para el problema C-d, trataría de dejar $x=\frac1r$ y luego resolver $\sin(\frac{dx}2)=ax$ ya que es probable que sea mucho más numéricamente estable. Y mediante el uso de los dos primeros términos de la serie de Taylor para el pecado se puede obtener una buena aproximación:-%#% $ de #% utilizando esta aproximación nos resolver $$\sin(\frac{dx}2)\approxeq \frac{dx}2-\frac{d^3x^3}{3!2^3}$ $ $$ax=\frac{dx}2-\frac{d^3x^3}{3!2^3}$ $ $$a=\frac d2-\frac{d^3x^2}{48}$ $ $$d^3x^2=24(d-2a)$ $ % que $$x=\sqrt{\frac{24(d-2a)}{d^3}}$$

Además el problema de A-d podemos convertir $$r\approxeq\sqrt{\frac{d^3}{24(d-2a)}}$ $ $$d=2r\arccos(1-\frac A{2\pi r^2})$ $ $$\cos(\frac d{2r})=1-\frac A{2\pi r^2}$ $ entonces usando la aproximación $$\cos(\frac{dx}2)=1-\frac{Ax^2}{2\pi}$ $\cos(y)\approxeq 1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}$ $$$1-\frac{d^2x^2}{2!2^2}+\frac{d^4x^4}{4!2^4}=1-\frac{Ax^2}{2\pi}$ $$$-\frac{d^2}{8}+\frac{d^4x^2}{384}=-\frac{A}{2\pi}$ $$$d^4x^2=384\left(\frac{d^2}8-\frac A{2\pi}\right)$ $así $$x^2=\frac{3072\pi(d^2\pi-4A)}{d^4}$ $