subgrupos finitos de SO(3)

Question

Como es sabido, todos los subgrupos finitos de $SO(3)$ , excepto los grupos cíclicos y diédricos, son isomorfos a uno de:

• $A_4$
• $S_4$
• $A_5$

La prueba clásica de este hecho utiliza la geometría de los poliedros regulares, sus simetrías y rotaciones.

¿Hay alguna prueba algebraica?

(Me refiero a cualquier prueba que tome $SO(3)$ como un grupo de matrices u operadores, pero no como un grupo de rotaciones del espacio tridimensional).

Answer 1

Puedes encontrar una demostración de esto usando la fórmula de Riemann-Hurwiz en el libro de McKean & Moll Curvas elípticas: Teoría de las funciones, geometría y aritmética . (Algunos podrían argumentar que se trata de una prueba geométrica, pero la fórmula de Riemann-Hurwiz pertenece realmente a la geometría algebraica. Así que es una prueba algebraica-geométrica).

En esencia, la prueba es la siguiente: existe una incrustación de $SO(3)$ en $\Gamma = PSL_2(\mathbf C)$ , dada al considerar las rotaciones de la esfera como automorfismos de la esfera de Riemann, que se describen mediante transformaciones de Möbius. El problema se reduce entonces a clasificar subgrupos finitos de $\Gamma$ . Si $G$ es un subgrupo de este tipo, entonces $\mathbf P^1/\Gamma$ puede convertirse en una superficie compacta de Riemann isomorfa a $\mathbf P^1$ . La fórmula de clase para $G$ se codifica entonces en los datos de ramificación del mapa cociente $\mathbf P^1 \to \mathbf P^1/G$ . Utilizando la fórmula de Riemann-Hurwiz, se obtiene un conjunto finito de posibilidades para la ecuación de clase. A continuación, se realiza cada posibilidad de forma explícita.