Encontrar polos, indicando su orden y luego computación sus residuos

Question

Realmente no entiendo el concepto detrás de encontrar polos en análisis complejo y no puedo encontrar nada en internet o en libros que me ayuda a captar el concepto...

Los siguientes son pasado examen preguntas que yo estoy mirando pero no sabe dónde ir con ellos con el fin de encontrar sus polos, indicar el orden a, luego calcular sus residuos... Cualquier ayuda sería muy apreciada...

$(i) f(z)=\dfrac{\sin z }{(z-1)\sinh z}$

$(ii)g(z)= \dfrac{\sin z}{z(z^2+4)}$

Answer 1

El general, la idea intuitiva de polos es que son los puntos donde la evaluación de su función implicaría la división por cero. El orden de los polos es el exponente del factor que se va a cero en el denominador. Es mejor comenzar con algunos ejemplos simples, tales como funciones racionales:

$$ f(z) = \frac{(z + 1)(z - 2)}{(z + 1)(z - 1)(z-3)^2}$$

Observe que el denominador tiende a cero en $z = -1, 1, 3$. Para $z = -1$, sin embargo, también hay una copia de $(z + 1)$ en la parte superior, por lo que este es un polo de orden cero, o una singularidad removible, por lo que normalmente no cuenta. En $z = 1$, tenemos una copia de $(z - 1)$ en el denominador, por lo que es un polo de orden $1$. Para$z = 3$, $(z - 3)$ con multiplicidad $2$, por lo que es un polo de orden $2$.

Ahora veamos un poco más interesante, ejemplo:

$$f(z) = \frac{z}{ \sin{z}}$$

Como todos sabemos, $\sin(z) = 0$ al $z = n \pi$ donde $n$ es un número entero, y además, todos estos ceros de $\sin(z)$ son solteros raíces, por lo que naturalmente se podría pensar que $f(z)$ tiene polos de orden $1$ $z = n \pi$ por cada $n$. Sin embargo, el $z$ en el numerador se cancela el cero en $z = 0$ en el denominador, lo que en realidad $f(z)$, en este caso tiene un polo de orden $1$ $z = n \pi$ donde $n$ es un número entero distinto de cero.

Así que la estrategia general puede ser descrito como este:

• Identificar todos los ceros en el denominador, junto con sus multiplicidades.
• Identificar los ceros de la izquierda en el numerador que también son ceros en el denominador, junto con sus multiplicidades.
• Cada cero en el denominador es un polo cuyo orden está dado por tomar la multiplicidad en el denominador y resta de distancia de la multiplicidad en el numerador. Si la orden no es positiva, entonces en realidad no es un polo.

Answer 2

(i) los polos de $f(z)=\dfrac{\sin z}{(z-1)\sinh z}$ serán los polos de $\sin z$ junto con los ceros de $(z-1)\sinh z$). Ya que $\sin(z)$ es analítica no tendrá postes. Así los polos va por $z=1$ y los ceros de $\sinh z$, $z=n\pi i$ $z\in \mathbb{Z}$. y todo será sencillos.

$z=1$, Podemos utilizar la fórmula $Res(f,c)=\lim_{z\rightarrow c}(z-c)f(z)$. Así $Res(f,1)=\lim_{z\rightarrow 1}\dfrac{\sin z}{\sinh z}=\dfrac{\sin 1}{\sinh 1}$

Para los postes de $z=n\pi i$, queremos utilizar la fórmula $Res(\dfrac{g}{h},c)=\dfrac{g(c)}{h^{\prime}(c)}$, que $Res(f,n\pi i)=\dfrac{sin(n\pi i)}{(n\pi i-1)\cosh (n\pi i)}=\dfrac{\sinh(n\pi)}{n\pi i-1} $