Puede inyectiva los módulos a través de R dar a los no inyectiva poleas más de Especificación de R?

Question

En [Hartshorne, III.3] la prueba de que inyectiva los módulos a través de $R$ dar flasque poleas $Spec\ R$. Supongo que es porque no te dan inyectiva gavillas, y flasque es el premio de consolación. Hay un fácil contraejemplo?

EDIT: en III.3 suponiendo Noetherian. Y ya lo ha demostrado en II.5.5 la equivalencia de las categorías de $R$-módulos y quasicoherent ${\mathcal O}_{Spec\ R}$-módulos. (Y que inyectiva poleas están flasque, en III.2.)

EDIT: su prueba de que injectives son flasque utiliza algunos no quasicoherent las poleas. Por lo que los ingredientes "inyectiva R-módulos de dar inyectiva objetos en la categoría de quasicoherent poleas [II.5.5]" plus "inyectiva objetos en la categoría de poleas están flasque [III.2]" no es suficiente para que el resultado se pone en la III.3, que inyectiva R-módulos de dar flasque las poleas.

Answer 1

Permítanme poner esto aquí por el bien de la claridad. Como fue señalado por Emerton en un comentario anterior, esta respuesta a una relacionada con las Matemáticas de Desbordamiento de la pregunta muestra que la respuesta es no, por un inyectiva $R$-módulo de $I$, la gavilla $\widetilde{I}$ no es necesariamente un inyectiva gavilla.

Así que si te gusta esa respuesta, yo sugiero que usted haga clic en el enlace de arriba y upvote la respuesta. La referencia de esta respuesta es la siguiente:

MR0617087 (82i:13013) Dade, Everett C. Localización de la inyectiva módulos. J. Álgebra 69 (1981), no. 2, 416--425.

Localización de módulos sobre un anillo conmutativo $R$ con respecto a un multiplicatively cerrado subconjunto $S$ $R$ es un functor exacto con un gran número de propiedades, algunas de las cuales se enumeran en el Teorema de 3.76 de J. J. Rotman del libro [Una introducción al álgebra homológica, Academic Press, Nueva York, 1979; MR0538169 (80k:18001)]. La quinta propiedad, a saber: (LI) la localización de la $S^{-1}E$ de cualquier inyectiva $R$-módulo de $E$ es un inyectiva $S^{-1}R$-módulo, es falso. Dos ejemplos son muestra de que arbitraria $R$ $S$ no tienen necesidad de la propiedad (LI). También un resultado positivo es dado, mostrando que (LI) sostiene que para que algunos no Noetherian $R$ y ciertos $S$. En particular, si $R$ es el polinomio anillo de $k[x_1,x_2,\cdots]$ en una contables de número de $x_n$ sobre un valor distinto de cero Noetherian anillo de $k$, entonces (LI) se mantiene para todas las opciones de $S$.

Answer 2

En los Residuos y la dualidad, Corolario 7.14 del Capítulo II, la prueba de que cuando se $R$ es noetherian la sheafification de un inyectiva módulo es un inyectiva $\mathcal O_X$-módulo.

Answer 3

Me pregunto por qué nadie ha mencionado todavía: Un contraejemplo por Verdier se puede encontrar en el SGA 6, Exp. 2, de la Aplicación. I. se puede leer aquí. También está demostrado que el olvidadizo functor $\mathrm{Qcoh}(X) \to \mathrm{Mod}(X)$ es un mal comportamiento en categorías derivadas. Otro ejemplo puede encontrarse en las Pilas del Proyecto Ejemplos (#26).