Sea $E=\cup _{i=1}^{\infty} E_i$ donde $E_i\subseteq [0,1]$ y $E_1\subseteq E_2\subseteq E_3\subseteq \ldots$ .
Quiero demostrar que $m^\ast(E_i)\rightarrow m^\ast(E)$ donde $m^\ast$ es la medida exterior de Lebesgue.
Mi intento:
Sea $F_1=E_1,F_2=E_2-F_1,~F_3=E_3-(F_1\cup F_2),~F_4=E_4-(F_1\cup F_2 \cup F_3)\ldots.$ Entonces el $F_i$ son disjuntos y $\cup_{i=1}^\infty F_i = \cup_{i=1}^\infty E_i$ . Pero también, $\cup_{i=1}^n F_i = \cup_{i=1}^n E_i$ . Así que tenemos $$\begin{align*} m^\ast(E) = m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^\infty F_i\right) & = \sum_{i=1}^\infty m^\ast (F_i)\\ {\,}{\,} & = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n m^\ast(F_i)\\ {\,}{\,} & = \lim_{n\rightarrow \infty}m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^n F_i\right)\\ {\,}{\,} & = \lim_{n\rightarrow \infty}m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^n E_i\right).\\ \end{align*} $$ Ahora estoy perplejo, porque no consigo que la última igualdad sea $\lim_{n\rightarrow \infty} m^\ast(E_n)$ .
¡¡¡Ayuda!!!
