Deje $V_1, \ldots, V_n$ $n$ subespacios de un espacio vectorial $V$.
Existe una formula para $\dim(V_1 + \cdots + V_n)$ similar a la de $\dim(V_1 + V_2)=\dim(V_1) + \dim(V_1) - \dim(V_1 \cap V_2)$?
Respuestas
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Este ejemplo ilustra la dificultad.
Deje $i,j,k$ ser el estándar de los vectores de la base para las 3 dimensiones del espacio real. Deje $W,X,Y,Z$ ser el subespacios distribuidos por $i,j,k,i+j$, respectivamente. A continuación, $W+X+Y$ tiene dimensión 3, $W+X+Z$ tiene dimensión 2, sino $W,X,Y,Z$ todos tienen la dimensión 1, y de la intersección de dos o más tiene dimensión 0. Así que, no usando la fórmula de las dimensiones de los cuatro espacios y sus intersecciones pueden distinguir entre las $W+X+Y$$W+X+Z$.
AlexMax
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Usted puede hacerlo de forma iterativa mediante $$\dim(V_1 + V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2) - \dim(V_1 \cap V_2)$$ es decir, el conjunto de $V_1' = V_1$,$V_2' = V_1' + V_2$, así que usted consigue $$\dim(V_2') = \dim(V_1') + \dim(V_2) - \dim(V_1' \cap V_2)$$ y así, vamos a $V_i' = V_{i-1}' + V_i$, por lo que $$\dim(V_i') = \dim(V_{i-1}') + \dim(V_i) - \dim(V_{i-1}' \cap V_i)$$
Si desea, puede sustituir la fórmula para $\dim (V_{i-1}')$ en el método anterior para obtener una fórmula, por ejemplo, si usted tiene $V_1, V_2, V_3$: $$\dim(V_2') = \dim(V_1) + \dim(V_2) - \dim(V_1 \cap V_2)$$ $$\begin{align*} \dim(V_3') &= \dim(V_2') + \dim(V_3) - \dim(V_2' \cap V_3) = \\ &=\dim(V_1) + \dim(V_2) - \dim(V_1 \cap V_2) + \dim(V_3) - \dim( (V_1 + V_2) \cap V_3) \end{align*}$$ y, por supuesto,$V_3' = V_1 + V_2 + V_3$, por lo que esta da una fórmula para la dimensión. El mismo método puede ser aplicado a cualquier número finito de subespacios, que los rendimientos de $$\begin{align*} \dim \left( \sum_{i = 1}^n V_i \right) &= \dim \left( \sum_{i = 1}^{n-1} V_i \right) + \dim(V_n) - \dim \left( \sum_{i = 1}^{n-1} V_i \cap V_n \right) = \\ &= \dots = \sum_{i = 1}^n \dim(V_i) - \sum_{j = 1}^{n-1} \dim \left( \sum_{k = 1}^j V_k \cap V_{j+1} \right) \end{align*}$$
