He cambiado mi evaluación ligeramente, y yo era capaz de obtener el resultado en forma muy simple.
Primer aviso de que $$ \int_{-\infty}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-|x|) e^{ikx} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-x) \cos(kx) \, dx. $$
A continuación, la integración por partes, y suponiendo por ahora eso $k >0$,
$$ \begin{align}\int_{-\infty}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-|x|) e^{ikx} \, dx &= 2 \left(\frac{ \text{Ei}^{2} (-x)\sin (kx)}{k} \Bigg|^{\infty}_{0} - \frac{2}{k} \int_{0}^{\infty}\frac{ \sin(kx) e^{-x} \text{Ei}(-x) }{x} \, dx \right) \\ &= - \frac{4}{k} \int_{0}^{\infty} \frac{ \sin(kx) e^{-x} \text{Ei}(-x) }{x} \, dx \\ &= \frac{4}{k} \int_{0}^{\infty}\frac{ \sin(kx) e^{-x} }{x} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-tx}}{t} \, dt \, dx \\ &= \frac{4}{k} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(kx) e^{-(1+t)x} }{x} \, dx \, dt \\ &= \frac{4}{k} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} \, \arctan \left(\frac{k}{1+t} \right) \, dt \tag{1} \\ &= \frac{4}{k} \left( \log(t) \arctan \left(\frac{k}{1+t} \right) \Bigg|^{\infty}_{1} + k \int_{1}^{\infty} \frac{\log(t)}{t^{2}+2t+1+k^{2}} \, dt \right) \\ &= 4 \int_{1}^{\infty} \frac{\log(t)}{t^{2}+2t+1+k^{2}} \, dt \\ &= - 4 \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{1+2u+(1+k^2)u^{2}} \, du \tag{2} \\ &= - \frac{4}{1+k^{2}} \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{u^{2}+ \frac{2}{1+k^{2}}u+ \frac{1}{1+k^{2}}} \, du \\& = \frac{2i}{k} \left( \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{u+ \frac{1}{1+ik}} \, du - \int_{0}^{1} \frac{\log(u)}{u+ \frac{1}{1-ik}} \, du\right) . \end{align}$$
En general, $$ \begin{align} \int \frac{\log(x)}{x+a} \, dx &= \frac{1}{a} \int \frac{\log(x)}{1+ \frac{x}{a}} \, dx \\ &= \log(x) \log \left(1+ \frac{x}{a} \right) - \int \frac{\log(1+ \frac{x}{a})}{x} \, dx \\ &= \log(x) \log \left(1+ \frac{x}{a} \right) + \text{Li}_{2} \left(- \frac{x}{a} \right) +C. \end{align}$$
El uso de este resultado obtenemos
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-|x|) e^{ikx} \, dx = \frac{2i}{k} \Big( \text{Li}_{2} (-1-ik) - \text{Li}_{2} (-1+ik) \Big) . $$
Esta parece ser la correcta para los distintos valores de $k$. Y la presencia de la unidad imaginaria, no significa que el resultado no es real valorados.
Para obtener el resultado de la transformada de Fourier sólo reemplace $k$ $|k|$ y multiplicar todo por $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$.
Para $k=0$ el lado derecho de la ecuación debe ser interpretado como un límite.
Usted va a encontrar que $$\int_{-\infty}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-|x|) \, dx= \frac{2 \sqrt{2} \log(2)}{\sqrt{\pi}}.$$
$ $
$(1)$ $\ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin bx}{x} e^{-ax} \, dx= \arctan \left(\frac{b}{a} \right) , \, a>0$
$(2)$ Hacer la sustitución $u = \frac{1}{t}$.
EDITAR:
Utilizando el hecho de que el dilogarithm es un valor real en el eje real para $x \le 1$, la respuesta puede ser simplificado con el uso de las Schwarz principio de reflejo.
$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \text{Ei}^{2}(-|x|) e^{ikx} \, dx = \frac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{\pi} |k|} \, \text{Im} \, \text{Li}_{2} (-1+i|k|) \end{align}$$
