¿Cuál es la suma de esta serie?

Question

Me gustaría saber cómo encontrar la suma de esta serie:

$$1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{6^2} + \cdots$$

La respuesta es que converge a una suma de entre $\frac 34$$1$, pero ¿cómo debemos ir sobre la estimación de esta suma?

Gracias!

Answer 1

La suma de esta serie es $\frac{\pi^2}{12}$.

Explicación

Ya sabemos que:

$$1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \text{...} = \frac{\pi^2}{6}$$

SUGERENCIA

Tenga en cuenta que:

$$\large \frac{-1}{2^2} = \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^2}$$

Ahora,

$$1- \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \text{...} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...\right) - 2 * \left(\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + ...\right)$$

$$ = \frac{\pi^2}{6} - \frac{2}{2^2}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...\right)$$

$$ = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{2}*\frac{\pi^2}{6}$$

$$= \frac{\pi^2}{12}$$

Comentario si usted tiene preguntas.

Answer 2

Es bien sabido que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$.

Por lo tanto, $\displaystyle\sum_{\substack{n=1\\ n \ \text{is even}}}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2m)^2} = \dfrac{1}{4}\sum_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{m^2} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\pi^2}{6} = \dfrac{\pi^2}{24}$.

Por lo tanto, $\displaystyle\sum_{\substack{n=1\\ n \ \text{is odd}}}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} - \sum_{\substack{n=1\\ n \ \text{is even}}}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6} - \dfrac{\pi^2}{24} = \dfrac{\pi^2}{8}$.

Finalmente, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \displaystyle\sum_{\substack{n=1\\ n \ \text{is odd}}}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} - \displaystyle\sum_{\substack{n=1\\ n \ \text{is even}}}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{8} - \dfrac{\pi^2}{24} = \dfrac{\pi^2}{12}$.

Answer 3

Si no sabe una respuesta exacta, aquí es una manera cruda para la estimación de la suma de la serie.

Nuestra serie es una alternancia de serie, con términos que la disminución en valor absoluto y tiene límite de $0$. Por lo que el error de truncamiento en un determinado plazo tiene valor absoluto menor que el valor absoluto de la primera "descuidado" plazo.

Por ejemplo, si utilizamos $1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}$ como una aproximación, entonces el valor absoluto del error es menor que $\frac{1}{6^2}$. Además, el error es "negativo", es decir, nuestra estimación es mayor que el valor verdadero.