El Nakayama lema se utiliza a menudo para mostrar que finitely generado idempotente ideales son generados por un idempotente. Lo que sigue siendo cierto si nos vamos a la no-conmutativa anillos? En otras palabras, dado un unital no conmutativa anillo de $R$ y una izquierda ideal $L$ $R$ que es finitely generado como ideal. Supongamos que $L\cdot L=L$. Debe $L$ ser generado (como ideal) por un idempotente?
Respuestas
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rschwieb
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No, no creo que esta versión de Nakayama, el lema es válida para no conmutativa de los anillos en general.
Existe una noción de un derecho débilmente regular anillo (o a la derecha completamente idempotente anillo), donde todos los de la derecha son los ideales idempotente. Ahora, todos von Neumann regular de los anillos son la derecha y la izquierda débilmente regular, pero no debe ser ejemplos de derecho débilmente regular de los anillos que no son de von Neumann regular. (No tengo uno en mente en el momento.)
Ahora, una de las caracterizaciones de von Neumann regular de los anillos es que todos sus finitely generado derecho ideales son generados por un idempotente. Así:
si usted tiene un ejemplo de un derecho débilmente regular anillo que no es von Neumann regular, debe tener un finitely generado ideal de derecho que no se genera por un idempotente.
Esto invalida que en particular conmutativa de la versión de Nakayama del lexema en el caso general.
Sin embargo, es fácil demostrar que entre conmutativa anillos, débilmente regular los anillos son exactamente los de von Neumann regular de los anillos: creo que probablemente perfectamente capaz de probarlo ya, así que es un ejercicio!
Actualización: por fin he encontrado un ejemplo disponible en línea: Derecho totalmente idempotente anillos no necesita ser de izquierda totalmente idempotente por Andruszkiewicz y Puczylowski.
Tenga cuidado: el primer ejemplo dado es un simple anillo de sin identidad, y se nota que cada simple anillo con identidad es, necesariamente, a la izquierda y a la derecha completamente idempotente. Se van a describir las modificaciones que hacer un ejemplo con la identidad. Parafraseando:
Deje $A$ ser simple, no Artinian von Neumann regular anillo que es un álgebra sobre un finito primer campo de $F$. Deje $L$ ser una máxima a la izquierda ideal de $A$. A continuación, el anillo de $R=\begin{bmatrix}L&A\\L&A\end{bmatrix}$ puede ser incrustado como un ideal en un anillo de $R^\ast$ con identidad tal que $R^\ast/R\cong F$, e $R^\ast$ es correcto pero no se dejó idempotente.
Ralph Shillington
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Esto no es cierto en general. En un reciente trabajo conjunto con N. Laustsen (Nota 1.10), se construye un espacio de Banach $X$ y un máximo de dos caras ideal $\mathscr{M}$ de la álgebra de todos los operadores acotados en $X$ que se genera como a la izquierda ideal por dos elementos, pero no por uno. Este ideal también tiene un almacén de izquierda aproximado de identidad, así que por Cohen teorema de factorización tenemos $\mathscr{M}^2 = \mathscr{M}$.
Soy consciente de que esta contra-ejemplo es muy complicado pero ya que proviene de los análisis que se puede considerar bastante natural en cierto respeto.
