Una métrica en $\mathbb{N}$

Question

Definir una métrica en $\mathbb{N}$ mediante la fijación de un primer, $p$, y el establecimiento de $$d(x,y)=\begin{cases} 0 & x=y \\ p^{-k} & \text{otherwise} \end{cases}$$ where $p^k$ is the highest power of $p$ that divides $|x-y|$.

Hubo un par de partes fáciles como muestra de que este es un espacio métrico y la búsqueda de una secuencia que converge a cero, pero estos dos últimos me tiene perplejo.

(i) Probar o refutar: El espacio de $(\mathbb{N},d)$ es compacto. Me siento como que necesito para entender lo que abre establece en esta topología se parecen a la primera, así que traté de averiguar cómo abrir bolas de comportarse. $B(x,2)=\mathbb{N}$ ya que contiene todos los números, ya que la diferencia puede tener $1$ como su mayor poder de $p$ que lo divide, y $2$ es elegido arbitrariamente, ya que es mayor que 1. A partir de aquí empiezo a estar más confundido parece $B(x,p^{-k})$ es el conjunto de números enteros de la forma $n\equiv x\mod{p^{k+1}}$, pero no estoy realmente seguro de cómo probar esto. A partir de aquí, yo no estoy seguro de cómo ir sobre la fabricación de un argumento acerca de que abra las cubiertas así que si alguien me puede orientar en la dirección correcta que se agradece.

(ii) Probar o refutar: Si $p=3$, entonces el conjunto de los números primos mayores que $101$ está abierto en $(\mathbb{N})$. Esto me parece muy raro para mí. Puedo escoger un elemento de este conjunto, $103$, entonces yo no creo que pueda encontrar un abrir pelota que contiene $103$ que es un subconjunto de las tesis de los números primos. Me estoy basando esta fuera de mi suposición de que el abrir las pelotas son de la forma descrita anteriormente, pero no estoy seguro de cómo mostrar este rigor.

Los consejos son muy apreciados.

Answer 1

(i) Considerar la secuencia

$$1, 1+p, 1+p+p^2,\ldots, \sum_{i=0}^np^i,\ldots$$

que claramente es de Cauchy, pero no converge para cualquier número natural, $n\in\Bbb N$, lo $\Bbb N$ no es completa, por lo tanto no compacto.

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La prueba de la no-convergencia:

Si $n\in\Bbb N$ representa a $n$ como una suma finita de potencias de $p$, lo que es posible hacer de manera constructiva y que se llama una base $p$ representación de $n$. Luego de restar la suma finita desde el infinito, vemos que sólo algunos finita de energía se puede dividir la diferencia, es decir, $p^j$ donde $j$ es el primer elemento no nulo en la diferencia de la suma de dos. Por tanto, los números son la distancia $p^j$ lejos el uno del otro, y así ... ya que esto es positivo, son desiguales, ya que en un espacio métrico de los axiomas de incluir $d(x,y)=0\iff x=y$.

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(ii) Vamos a $q>101$ ser un primer congruente a $a\mod 3^k$. Entonces sabemos que hay infinitamente muchos naturales numers $n\equiv a\mod 3^k$ (en particular, $q+3^k$ es siempre igual) que no sean de primera, por lo que elegir uno de esos $n$ y, a continuación,

$$n\in B(q,\epsilon)$$

para cualquier $\epsilon >0$ donde $k$ se define como $k(\epsilon)$ tal que $p^{-k}<\epsilon\le p^{1-k}$, por lo que no sólo cada elemento que hace no tienen abierta una bola alrededor de sí mismo completamente contenido en el conjunto, ninguno de los números primos hacer. En particular, el conjunto no es abierto.

Answer 2

Esta métrica se llama la $p$-ádico métrica, y tiene muchas aplicaciones en la teoría de números y otras áreas de las matemáticas.

Para algunos la intuición: dado cualquier número $n \in \mathbb N$, podemos escribir $n$ base $p$ - es decir,$$n = \sum_{i=0}^Na_ip^i \ \ \ \ 0 \le a_i<p$$If $\ displaystyle m = \sum_{n=0}^Nb_ip^i$, then $d(m,n)=p^{-j}$ where $j = \min\{i:a_i - b_i \ne 0\}$.

Por ejemplo, para $p=3$, $33$ es $110$ base $3$ $27$ $100$ base $3$. Por lo $d(33,27) = 3^{-1}$.

$B(x,p^{-k})$ es entonces el conjunto de los números cuya base $p$ de representación es la misma que la de $x$ de la $k^\text{th}$ posición en adelante. Esta es otra manera de decir que los dos números son congruentes modulo $p^k$.

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(i) Con esta definición en mente, piense en la secuencia en la base de $p$$$1,11,111,1111,\dots$$This is the same sequence suggested by Adam Hughes, but in this notation, it is clearly Cauchy - as for any $\epsilon >0$, we can find $p^{-k}<\epsilon$ and after the $k$ terms, of the sequence, all subsequent terms will agree on the first $k$ dígitos.

Alternativamente, usted podría considerar la secuencia $$p,\ p^2 ,\ p^3 , \ldots$$ which we can rewrite as $$1, 10, 100, 1000, \ldots$$ in base $p$. This sequence actually converges to $0$ if you were to extend this metric to $\mathbb Z$!! As such it certainly can't converge in $\mathbb N$, but will be Cauchy. (If you consider $0 \in \mathbb N$ then just subtract $1$ de cada término de esta secuencia.)

(ii) Recoger cualquier prime $q$ no es igual a $3$. A continuación, $q \equiv \pm 1 \mod 3$ - por lo que en base a $3$ debemos tener $q = a_N\ldots a_1a_0$ donde $a_0 \in \{1,2\}$.

A continuación, para cualquier $k$, $$n=q + 3^k$$ es , incluso, y por lo tanto, ciertamente no es primo.

Pero $n = 10000\ldots 00a_N\ldots a_0$ está de acuerdo con $q$ para el primer $k$ dígitos, por lo que podemos encontrar compuesto de números arbitrariamente cerca de $q$.