Noether la expresión actual en Peskin y Schroeder

Question

En el segundo capítulo de Peskin y Schroeder, Una Introducción a la Teoría Cuántica de campos, se dice que la acción es invariante si el Lagrangiano de los cambios de la densidad por cuatro divergencia. Pero si calculamos cualquier cambio en la densidad Lagrangiana se observa que bajo las condiciones de la ecuación de movimiento que se está satisfecho, sólo se cambia por una de cuatro divergencia plazo.

Si ${\cal L}(x) $ cambios $ {\cal L}(x) + \alpha \partial_\mu J^{\mu} (x) $, entonces la acción es invariante. Pero no es esto sólo en el caso de extremization de acción para obtener Euler-Lagrange las ecuaciones.

La comparación de este a $ \delta {\cal L}$

$$ \alpha \delta {\cal L} = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} (\alpha \delta \phi) + \frac{\partial {\cal L}}{\partial \partial_{\mu}\phi} \partial_{\mu}(\alpha \delta \phi) $$

$$= \alpha \partial_\mu \left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial \partial_{\mu}\phi} \delta \phi \right) + \alpha \left[ \frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left(\frac{\partial {\cal L}}{\partial \partial_{\mu}\phi} \right) \right] \delta \phi. $$

Obtener el segundo término a cero suponiendo que la aplicación de las ecuaciones de movimiento. No implica esto que la noether actual del mismo es cero, en lugar de sus derivados? Que es:

$$J^{\mu} (x) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \partial_{\mu}\phi} \delta \phi .$$

Debo agregar que mi duda es ¿por qué el cambio de ${\cal L}$ por un período de cuatro divergencia plazo conducen a la invariancia de acción a nivel mundial cuando la idea que de sí mismo se deriva mientras extremizing la acción, lo que supongo es un local extremization y no un mundial.

Answer 1

He aquí lo que, a mi juicio, una matemática y lógica precisa la presentación del teorema, hágamelo saber si esto le ayuda.

Matemática Preliminares

En primer lugar, permítanme presentarles a algunas notación precisa para no tener problemas con "infinitesimals", etc. Dado un campo $\phi$, vamos a $\hat\phi(\alpha, x)$ denotar un suave familia de un parámetro de campos en los que el $\hat \phi(0, x) = \phi(x)$. Llamamos a esta familia un flujo de $\phi$. Entonces podemos definir la variación de $\phi$ de este flujo como el primer orden de aproximación a la variación en $\phi$ como sigue:

Definición 1. (Variación de campo) $$ \delta\phi(x) = \frac{\partial\hat\phi}{\parcial\alpha}(0,x) $$

Esta definición implica entonces la siguiente expansión $$ \hat\phi(\alpha, x) = \phi(x) + \alpha\delta\phi(x) + \mathcal O(\alpha^2) $$ que hace contacto con la notación en muchos libros de física como Peskin y Schroeder.

Nota: En mi notación, $\delta\phi$ NO es un "infinitesimal", es el coeficiente del parámetro $\alpha$ en el primer cambio de orden en el campo bajo el flujo. Yo prefiero escribir las cosas de esta manera porque me parece que lleva a mucha menos confusión.

A continuación, vamos a definir la variación de la Lagrangiana bajo el flujo como el coeficiente de variación en $\mathcal L$ a primer orden en $\alpha$;

Definición 2. (Variación de la densidad Lagrangiana) $$ \delta\mathcal L(\phi(x), \partial_\mu\phi(x)) = \frac{\partial}{\partial\alpha}\mathcal L(\hat\phi(\alpha, x), \partial_\mu\hat\phi(\alpha, x))\Big|_{\alpha=0} $$

Dadas estas definiciones, se los dejo a ustedes para mostrar

Lema 1. Para cualquier variación de los campos $\phi$, la variación de la densidad Lagrangiana satisface \begin{align} \delta\mathcal L &= \left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi} - \partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\delta\phi + \partial_\mu K^\mu,\qquad K^\mu = \frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi \end{align} Usted necesitará usar (1) la regla de La cadena para la diferenciación parcial, (2) el hecho de $\delta(\partial_\mu\phi) = \partial_\mu\delta\phi$ que puede ser probada a partir de la definición anterior de $\delta\phi$ y (3) el producto de la regla de diferenciación parcial.

El teorema de Noether en los pasos

1. Vamos a un determinado flujo de $\hat\phi(\alpha, x)$ ser dado.

2. Supongamos que para este flujo particular, existe cierta campo de vectores $J^\mu\neq K^\mu$ tal que $$ \delta\mathcal L = \partial_\mu J^\mu $$

3. Aviso, que para cualquier campo de $\phi$ que satisface la ecuación de movimiento, Lema 1 nos dice que $$ \delta \mathcal L = \partial_\mu K^\mu $$

4. Definir un campo de vectores $j^\mu$ por $$ j^\mu = K^\mu - J^\mu $$

5. Observe que para cualquier campo $\phi$ la satisfacción de las ecuaciones de movimiento de los pasos 2+ 3 + 4 implica $$ \partial_\mu j^\mu = 0 $$

Q. E. D.

Notas Importantes!!! Si usted sigue la lógica cuidadosamente, verás que $\delta L = \partial_\mu K^\mu$ sólo a lo largo de las ecuaciones de movimiento. También, parte de la hipótesis del teorema fue que encontramos un $J^\mu$ que no es igual a $K^\mu$ que $\delta\mathcal L = \partial_\mu J^\mu$. Esto asegura que el $j^\mu$ definido en la final no es idéntica a cero! Con el fin de encontrar una $J^\mu$, usted no debe utilizar las ecuaciones de movimiento. Usted debe ser la aplicación de la dada de flujo para el campo y ver lo que pasa a primer orden en el "parámetro de flujo" $\alpha$.

Saludos!

Answer 2

Lagrangiano invariante hasta un total de 4 de las divergencias y de Euler Lagrange ecuación que aportan el $\partial_{\mu}\left(\frac{\partial L}{\partial\partial_{\mu}\phi}\delta\phi\right)=\partial_{\mu}\left(J^{\mu}(x)\right)$

Ahora bien, si he entendido correctamente que usted está diciendo esencialmente si $\dfrac{df}{dx}=\dfrac{dg}{dx}$$f=g$, lo que en general no es cierto todo lo que uno puede decir es $\dfrac{d(f-g)}{dx}=0$ es decir $f-g=constant$.

De forma parecida $\partial_{\mu}\left(J^{\mu}(x)-\frac{\partial L}{\partial\partial_{\mu}\phi}\delta\phi\right)=0$ implicaría

$j^{\mu}(x)=J^{\mu}(x)-\frac{\partial L}{\partial\partial_{\mu}\phi}\delta\phi$ tal que $\partial_{\mu}(j^{\mu}(x))=0$

Answer 3

En primer lugar, el diferencial de operación se llama "cuatro divergencia" (las cuatro dimensiones de la divergencia), no "cuarto de divergencia".

Segundo, la acción, obviamente no cambio bajo un genérico de cambio de los campos, es decir, si el cambio de la Lagrangiana es no un cuatro-divergencia. Es un completamente funcional general de los campos, de modo que hace cambiar.

Tercero, la acción es estacionario cuando las ecuaciones de movimiento son satisfechos. Estas dos condiciones son en última instancia equivalente. Pero al derivar las ecuaciones de movimiento, no se puede asumir que las ecuaciones de movimiento son satisfechos. Que sería un razonamiento circular y no se podía derivar de nada.

Cuarto, sí, las ecuaciones de movimiento se utiliza cuando uno se deriva $\partial_\mu J^\mu=0$ (es decir, la acción es estacionario), pero no, la derivación de la Noether actual no implica que $J^\mu=0$. Tu error está en confundir lo que es extremized. Las ecuaciones de movimiento sólo decir $\delta S =0$, no $\delta L=0$ o $\delta{\mathcal L}=0$.

Quinto, su última ecuación es completamente sin sentido debido a que el lado izquierdo es finito, pero el lado derecho es infinitesimal. Tanto como con problemas de dimensiones de análisis (unidades incompatibles), una manipulación con estas expresiones que obedecer las reglas básicas que nunca puede terminar con una similar falta de coincidencia. Su anterior "cálculo" es también porque está escrito algunas extrañas expresiones que son de segundo orden. En las variaciones, $\alpha$ mismo se supone para ser infinitesimal, y en la válida de derivaciones, no es nunca un producto de $\alpha$ con otra cantidad infinitesimal como $\delta \phi$. En efecto, los términos son de segundo orden (doblemente infinitesimal), pero su análisis no tiene en este orden superior de la precisión, por lo que es incorrecto.

Creo que es una buena idea para que siga en el real de la correcta derivación en lugar de su personal intentos de revisión del funcional de cálculo que usted no ha dominado todavía.