Los subespacios de separables normativa espacios

Question

Deje $X$ ser un separables normativa espacio. Es cierto que cada subespacio es separable? Si era el espacio de Hilbert me gustaría tener la densa y, a continuación, sus proyecciones. Suena trivial, pero no puedo probar o refutar...

Gracias.

Answer 1

Deje $X$ ser un espacio métrico separable y $x_n$ un subconjunto denso. Deje $a_m$ ser una enumeración de los números racionales positivos y vamos a $V_{(n,m)}=\{y \in X \mid d(y,x_n) < a_m \}$. Esta es una contables base de X.

De hecho, tomar un conjunto abierto $U$$X$. Para $y_0 \in U$ hay $\epsilon >0$ tal que $B(y_0, \epsilon) \subset U$. Elija $x_{n_0}$ tal que $d(x_{n_0},y)< \frac{ \epsilon }{4}$ $a_{m_0}$ tal que $ \frac{ \epsilon }{4}< a_{m_0} < \frac{ \epsilon }{2} $.A continuación, $y \in V_y=V_{ (n_0 , m_0)} \subset U$ $$U= \bigcup_{y \in U}V_y.$$

Answer 2

Seperability es una propiedad de no ser tan grande, por lo que si el espacio es seperable entonces así debe ser el subespacio. Nisar