Calcular el límite de dos interrelacionados secuencias?

Question

Estoy dadas dos secuencias:

$$a_{n+1}=\frac{1+a_n+a_nb_n}{b_n},b_{n+1}=\frac{1+b_n+a_nb_n}{a_n}$$

así como una condición inicial $a_1=1$, $b_1=2$, y me dije a encontrar: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_n}$.

Dado que ni siquiera estoy seguro de cómo abordar este problema, he intentado de todos modos. He sustituido $b_{n-1}$ $b_n$ a comenzar la búsqueda de un patrón. Esto finalmente se reduce a:

$$a_{n+1}=\frac{a_{n-1}(a_n+1)+a_n(1+b_{n-1}+a_{n-1}b_{n-1})}{1+b_{n-1}+a_{n-1}b_{n-1}}$$

Viendo que no hay patrón, yo hice lo mismo una vez más:

$$a_{n+1}=\frac{a_{n-2}a_{n-1}(a_n+1)+a_n\left(a_{n-2}+(a_{n-1}+1)(1+b_{n-2}+a_{n-2}b_{n-2})\right)}{a_{n-2}+(a_{n-1}+1)(1+b_{n-2}+a_{n-2}b_{n-2})}$$

Mientras que esta ecuación es atroz, que en realidad revela algo de un patrón. Puedo ver una emergentes - aunque estoy seguro de cómo me gustaría expresar que. Mi objetivo aquí es generalmente para encontrar una forma cerrada para la $a_n$ ecuación, luego se toma el límite de la misma.

¿Cómo debo enfocar este problema? Estoy totalmente perdido como es. Los punteros sería muy apreciada!

Editar:

Aunque hay una manera de probar que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_n}=5$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}$, todavía estoy buscando una manera de encontrar la forma absoluta de la límite, $\displaystyle\frac{1+2a+ab}{b-a}$.

Answer 1

La respuesta es $a_n \to 5$ , $b_n \to \infty$.

Estoy tratando de probar que y voy a editar este post si puedo averiguar algo.

EDITAR: Me gustaría escribir todo esto en el comentario en lugar de responder, pero no puedo encontrar la manera de hacerlo.. tal vez necesito tener más reputación para ello (baja reputación = baja privilegios:P)

De todos modos, todavía no resuelto, pero tal vez algo de eso te ayudará. Voy a editar cuando creo en algo.

EDITAR: Después de muchas transformaciones y jugando con los números, creo que el límite, para $a<b$ $$ \frac{ab + 2a +1}{b-a}$$

Pero todavía no se puede demostrar.

(En la declaración anterior: $a = a_1 $ , $ b = b_1 $)

Answer 2

Para proceder

En realidad, podemos calcular $\lim a_n$ explícitamente, ya que $$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{1}{c-\frac{1}{c_n}} \text{ converge a } 1 \quad \Leftrightarrow \quad c_n \text{ converge a } \frac{1}{c-1} $$ que también es equivalente a que $ a_n \text{ converges to } \frac{1}{c-1}-1 $, donde $c=\frac{c_2}{c_3}+\frac{1}{c_2}$.

Sabemos$\ c_2=a_2+1=\frac{(1+a_1)(1+b_1)}{b_1},c_3=a_3+1=\frac{(+a_2)(1+b_2)}{b_2}=\frac{(1+a_1)^2(1+b_1)^2}{b_1(1+b_1+a_1b_1)}$

Ahora llegamos $c=\frac{1+2b_1+a_1b_1}{(1+a_1)(1+b_1)}$ y $$ a_n\a \frac{1}{c-1}-1=\frac{1+2a_1+a_1b_1}{b_1-a_1} $$ Editar:

Gracias a Mihai Dicu, una vez que nos damos cuenta de que $\frac{1}{1+a_{n+1}}-\frac{1}{1+b_{n+1}}=\frac{1}{1+a_{n}}-\frac{1}{1+b_{n}}=\frac{1}{1+a_{1}}-\frac{1}{1+b_{1}}$, es bastante fácil encontrar el límite. A partir de mi respuesta anterior, si $b_1>a_1>0$, podemos, de hecho, muestran que tanto $a_n$ $b_n$ están aplicándose de manera creciente, y $b_n\to +\infty$. Por lo tanto, $$ \frac{1}{1+a_n}=\frac{1}{1+b_n}+\frac{1}{1+a_1}-\frac{1}{1+b_1}>\frac{1}{1+a_1}-\frac{1}{1+b_1}>0 $$ lo que muestra que ${a_n}$ es acotado, y por lo tanto sus límites existe. $$ \lim_{n\to \infty}b_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}\frac{1}{1+a_n}=\frac{1}{1+a_1}-\frac{1}{1+b_1}=\frac{b_1-a_1}{(1+a_1)(1+b_1)} $$ que es equivalente a $$ \lim_{n\to \infty}a_n=\frac{(1+a_1)(1+b_1)}{b_1-a_1}-1=\frac{1+2a_1+a_1b_1}{b_1-a_1} $$

Answer 3

A partir de una respuesta anterior (Coiacy) sabemos que $a_{n}$ es creciente y $lim_{n\rightarrow\infty} b_{n} = \infty$.

Es fácil probar las igualdades:

1) $ 1+a_{n+1}=\frac{(1+a_{n})(1+b_{n})}{b_{n}}$;

2) $1+b_{n+1}=\frac{(1+a_{n})(1+b_{n})}{a_{n}}; $

3) $\frac{1}{1+a_{n+1}}-\frac{1}{1+b_{n+1}}= \frac{1}{1+a_{n}}-\frac{1}{1+b_{n}}.$

A partir de 3) se deduce que $\frac{1}{1+a_{n}}-\frac{1}{1+b_{n}} = \frac{1}{1+a_{1}}-\frac{1}{1+b_{1}} = \frac{1}{6}$$\frac{1}{1+a_{n}}= \frac{1}{6} + \frac{1}{1+b_{n}} > \frac{1}{6}$.

A partir de aquí tenemos que $ a_{n}< 5 $, lo que significa que $a_{n}$ es monótona y acotada y $lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} = l$ donde $l\in (0, 5]$.

Debido a $lim_{n\rightarrow\infty} b_{n} = \infty$ se sigue que $lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+a_{n}}$ $= \frac{1}{6}+lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+b_{n}} = \frac{1}{6}$ y, en consecuencia, $lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} = 5$

Answer 4

Es obvio que $a_n$ $b_n$ están en la misma situación, por lo que sus límites dependen en gran medida de los valores iniciales. Siguientes son algunos de los puntos que puede obtener de las $a_1=1$$b_1=2$:

• $a_n>0$ $b_n>0\ ;a_{n+1}-a_{n}=\frac{1+a_n}{b_n}>0$ y de manera similar a $b_{n+1}-b_n>0$. Por lo tanto, $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son estrictamente creciente secuencias;

• $b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{(b_n-a_n)+(b_n^2-a_n^2)+a_n\cdot b_n(b_n-a_n)}{a_n\cdot b_n}$, y por lo tanto la inducción por $b_n>a_n$ por cada $n$;

• $b_{n+1}-b_{n}=\frac{1+b_n}{a_n}>\frac{b_n}{a_n}>1$, lo que implica $b_n$ aumenta a $+\infty$;
• $\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{1}{b_n}+\frac{1}{a_n\cdot b_n}$ converge a$1$$n\to \infty$.

Ahora vamos a comprobar $\lim a_n$ existe y encontrar su forma cerrada. Para mostrar la existencia, es suficiente para mostrar $\{a_n\}$ está acotada. Primero asuma $a_n$ aumenta hasta el infinito, y vamos a derivar una contradicción con el último punto mencionadas anteriormente. Desde el hecho de $$b_n(a_{n+1}+1)=(1+a_n)(1+b_n)=a_n(b_{n+1}+1)$$ Denotar $c_n:=a_n+1$$d_n:=b_n+1$, entonces obtendremos $$ \begin{cases} \frac{c_n-1}{c_n}=\frac{d_n}{d_{n+1}}\\ \frac{d_n-1}{d_n}=\frac{c_n}{c_{n+1}} \end{casos} \Rightarrow \begin{cases} \frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{c_n}{c_n-1}\\ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{d_n}{d_n-1} \end{casos} $$ Para $n\ge 2$, $d_n=d_1\cdot \frac{d_2}{d_1}\cdots \frac{d_n}{d_{n-1}}=d_1\cdot \frac{c_1}{c_1-1}\cdots \frac{c_{n-1}}{c_{n-1}-1}$, lo que implica $$ d_1(1-\frac{c_n}{c_{n+1}})=(1-\frac{1}{c_1})\cdots (1-\frac{1}{c_{n-1}}) $$ De hecho,$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{d_n}{d_n-1}=\frac{d_1\cdot \frac{c_1}{c_1-1}\cdots \frac{c_{n-1}}{c_{n-1}-1}}{d_1\cdot \frac{c_1}{c_1-1}\cdots \frac{c_{n-1}}{c_{n-1}-1}-1} \Rightarrow \frac{c_{n}}{c_{n+1}}=1-\frac{1}{d_1}((1-\frac{1}{c_1})\cdots (1-\frac{1}{c_{n-1}}))$$

Junto con $d_1(1-\frac{c_{n+1}}{c_{n+2}})=(1-\frac{1}{c_1})\cdots (1-\frac{1}{c_{n}})$, obtenemos $(1-\frac{1}{c_n})(1-\frac{c_n}{c_{n+1}})=1-\frac{c_{n+1}}{c_{n+2}}$. Que es $$ \frac{c_{n+1}}{c_{n+2}}-\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{1}{c_{n}}-\frac{1}{c_{n+1}} $$ Por lo tanto, para $n\ge 2$ $$ \frac{c_{n}}{c_{n+1}}-\frac{c_2}{c_3}=\frac{1}{c_2}-\frac{1}{c_{n}} $$ que es equivalente a $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}+\frac{1}{c_{n}}=c(constante):=\frac{c_2}{c_3}+\frac{1}{c_2}=\frac{7}{6} \\ (c_1=2,d_1=3;c_2=3,d_2=6;c_3=\frac{18}{5}) $$ Ahora está claro que $$\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\frac{c_n}{\frac{7}{6}c_n-1}=\frac{1}{\frac{7}{6}-\frac{1}{c_n}} $$ Bien, el problema se ha reducido a solucionar $c_n(=a_n+1)$, y se puede utilizar el mismo método para solucionar $b_n$, y me gustaría dejar esto abierto para usted, pero tenga en cuenta como he mencionado antes, si $a_n\to +\infty$, $c_n\to +\infty$ e $$ \frac{c_{n+1}}{c_{n}}(=\frac{\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{1}{a_n}}{1+\frac{1}{a_n}})=\frac{1}{\frac{7}{6}-\frac{1}{c_n}} \text{converge a } \frac{6}{7} \text{lugar } 1 $$ esto se contradice con el último punto.